MODUL 5 INVERS MATRIK PRAYUDI STT PLN

PENGERTIAN INVERS MATRIK Matrik bujur sangkar A dikatakan mempunyai invers, jika terdapat matrik B sedemikian rupa sehingga : AB = BA = I dimana I matrik identitas B dikatakan invers matrik A ditulis A–1, maka, AA–1 = A–1A = I A dikatakan invers matrik B ditulis B–1, maka, B–1B= BB–1 = I Contoh ; AB = BA = I

TEKNIK MENGHITUNG INVERS Metode Adjoint matrik Metode operasi elementer baris Metode Perkalian Invers Matrik Elementer Metode partisi matrik Program Komputer – MATCADS, MATLAB WS OFICE EXCELL

Metode Adjoint Matrik Andaikan A matrik bujur sangkar berordo (nxn), Cij=(-1)i+j Mij kofaktor elemen matrik aij, dan andaikan pula det(A)≠0 maka A mempunyai invers yaitu : Kasus, n = 2 : maka dimana,

Kasus, n = 3 CONTOH : det(A)= 1

KASUS : n = 4 CONTOH : Hitunglah invers matrik berikut ini : Ekspansi baris -1 : det(a)=M11-2M12+3M13-4M14 =-10 – 2(5) + 3(9) – 4(2)= –1 Ekspansi baris-2 : det(A)=-2M21+3M22-5M23+5M24 =-2(-6) –3(4) + 5(-6) –5(-1)= –1 Ekspansi baris-3 : det(A)=3M31-5M32+7M33-4M34 =3(-8) –5(3) + 7(6) –4(1)= –1 Ekspansi baris-4 : det(A)=-3M41+6M42-8M43+6M44 =-3(-7) +6(2) - 8(5) + 6(1)= –1

INVERS : OPERASI ELEMENTER BARIS Operasi Elementer baris yang digunakan adalah : (1). Hj  kHj (2). Hj  Hi (3). Hj  Hj + kHj Langkah-langkah sebagai berikut (1). Bentuk matrik lengkap [A,I] (2). Dengan serangkain operasi elelemter baris reduksilah [A,I] menjadi matrik berbentuk [I,B] (3). A–1 = B Operasi elementer baris Gaouss-Jordan

CONTOH : M.Asal 2 3 4 1 5 Iterasi-1 1.5 0.5 H1=(1/a11)H1 -0.5 -1 -1.5 5 Iterasi-1 1.5 0.5 H1=(1/a11)H1 -0.5 -1 -1.5 H2=H2-(a21/a11)H1 -3 -2 H3=H3-(a31/a11)H1 Iterasi-2 H2=(1/a22)H2 H3=H3-(a32/a22)H2 Iterasi-3 H3=(1/a33)H3

Iterasi-4 1 1.5 2.5 -4 2 H1=H1-(a13/a33)H3 5 -6 H2=H2-(a23/a33)H3 -1 Lanjutan : Iterasi-4 1 1.5 2.5 -4 2 H1=H1-(a13/a33)H3 5 -6 H2=H2-(a23/a33)H3 -1 Iterasi-5 -5 H1=H1-(a12/a22)H2

Matrik Awal 1 2 3 4 5 7 6 8 Iterasi - 1 1 2 3 4 H1=(1/a11)H1 -1 -3 -2 H2=H2-(a21/a11)H1 -8 H3=H3-(a21/a11)H1 -6 H4=H4-(a41/a11)H1 Iterasi - 2 1 2 3 4 -1 H2=(1/a22)H2 -5 H3=H3-(a32/a22)H2 -6 -3 H4=H4-(a42/a22)H2 Iterasi-4 1 2 3 4 -1 5 H3=(1/a33)H3 -2 H4=H4-(a43/a33)H3

Iterasi-5 1 2 3 4 -1 5 H4=(1/a44)H4 Iterasi-6 1 2 3 -7 4 -4 H1=H1-a14*H4 -3 H2=H2-a24*H4 -9 6 -6 5 H3=H3-a34*H4 -1 Iterasi-7 1 2 20 -14 14 -11 H1=H1-a13*H3 5 -4 3 -2 H2=H2-a23*H3 -9 6 -6 -1 Iterasi-8 1 10 -6 8 -7 H1=H1-a12*H2 5 -4 3 -2 -9 6 2 -1

PERKALIAN MATRIK ELEMENTER Matrik elementer E diperoleh dari transformasi matrik identitas dimana pada kolom ke-I diganti dengan normalitas vektor kolom : (1). Matrik elementer adalah matrik yang diperoleh dari operasi elementer yang dikenakan pada matrik identitas. (2). Setiap matrik elementer mempunyai invers, dan setiap matrik bujur sangkar berordo (nxn) yang mempunyai invers ekivalen baris terhadap matrik identitas I. (3). Akibatnya, jika : EkEk–1Ek–2 …E2E1A = I, maka, A–1 = EkEk–1Ek–2 …E2E1

CONTOH Hitung invers matrik A Jawab : Menghitung E1 Menghitung E2

Menghitung E3 dan Invers Matrik Jadi Invers Matrik

Menghitung E2 CONTOH Hitung invers matrik A Jawab : Menghitung E1

Menghitung E3

Menghitung E4 dan Invers Matrik

INVERS : PARTISI MATRIK (1) Partisi matrik A yang berordo (mxn) adalah sub matrik-sub matrik yang diperoleh dari A dengan cara memberikan batasan-batasan garis horisontal diantara dua baris dan atau memberikan batasan-batasan garis vertikal diantara dua kolom. CONTOH CONTOH

INVERS : PARTISI MATRIK (2) Andaikan A matrik bujur sangkar berordo (nxn) yang mempunyai invers, yaitu : A–1 = B, dan partisinya masing-masing adalah : Karena, AB=BA=I maka diperoleh : Dari perkalian matrik diperoleh hasil : (1). A11 B11 + A12 B21 = I (2). A11 B12 + A12 B22 = 0 (3). B21 A11 + B22 A21 = 0 (4). B21 A12 + B22 A22 = I Dengan asumsi, A11–1 ada, dan B22 = L–1 ada Maka rumus untuk menghitung inver matriknya adalah : (1). B12 = –(A 11–1 A12)L–1 (2). B21 = – L–1(A21 A11–1) (3). B11 = A11–1+(A11–1A12)L–1(A21 A11–1) (4). L = A22 – (A21A11–1A12)

CONTOH : Menghitung L Kasus n=4. Hitunglah invers matrik berikut ini Jawab :

Menghitung Invers Matrik CONTOH : Hitung invers matrik A berikut : Jawab : Partisi matrik A

Menghitung L

Menghitung Invers Matrik

SOAL TUGAS IV Hitung invers matrik A berikut ini dengan cara : Metode Adjoint Perkalian matrik elementer Operasi elementer baris Metode partisi matrik Hitung invers matrik A berikut ini dengan 2 cara partisi yang berbeda: