BILANGAN – BILANGAN REAL PERTEMUAN 1 BILANGAN – BILANGAN REAL

Sasaran Pengkajian yang lebih mendalam tentang bilangan – bilangan real. Pokok Bahasan Sifat – sifat aljabar dari R. Nilai absolut dari R.

Pada himpunan R dari semua bilangan – bilangan real berlaku sifat – sifat dasar aljabar yang dikenal sebagai aksioma – aksioma dari table, yaitu (A1) a+b=b+a untuk semua a,b  R (sifat komutatif perjumlahan); (A2) (a+b)+c=a+(b+c) untuk semua a,b,c  R (sifat asosiatif perjumlahan); (A3) terdapat suatu elemen 0  R sedemikian sehingga 0+a=a dan a+0=a untukk semua a  R (eksistensi dari elemen 0); (A4) untuk setiap a  R terdapat elemen –a  R sedemikian sehingga a+(-a)=0 dan (- a)+a=0 (eksistensi dari elemen – elemen negatif);

(M1). a  b=b  a untuk semua a,b  R (sifat (M1) a  b=b  a untuk semua a,b  R (sifat komutatif perkalian); (M2) (a  b)  c=a  (b  c) untuk semua a, b,c  R (sifat asosiatif perkalian); (M3) terdapat suatu elemen 1  R sedemikian sehingga 1  a=a dan a  1=a untuk semua a  R (eksistensi dari elemen unit); (M4) untuk setiap a0 dalam R terdapat elemen 1/a dalam R sedemikian sehingga a  (1/a)=1 dan (1/a)  a=1 (eksistensi dari resiprokal – resiprokal); (D) a  (b+c)=(a  b) + (a  c) dab (b+c)  a=(b  a)+(c  a) untuk setiap a,b,c  R (sifat distributif dari perkalian atas perjumlahan).

Teorema Bila z dan a adalah elemen – elemen dalam R dengan z+a=a maka z=0. Bila u dan b0 adalah elemen – elemen dalam R dengan u  b=b, maka u=1. Bila a  R, maka a  0=0

Teorema a.    Bila a0 dan b dalam R sedemikian sehingga a  b=1 maka b=1/a. b.    Bila a  b=0, maka a=0 atau b=0.

Tidak ada bilangan rasional r sedemikian sehingga r2=2. Teorema Tidak ada bilangan rasional r sedemikian sehingga r2=2.

Nilai absolut dari bilangan real a, ditulis |a|, didefinisikan sebagai

Teorema Untuk setiap a,b  R berlaku |ab|=|a||b|. Untuk setiap a  R berlaku |a|2 =a2 . Bila c  0 maka |a| < c bila dan hanya bila – c  a  c. -|a|  a  |a| untuk setiap a  R.

Bila a,b  R maka |a+b|  |a|+|b|. Teorema Bila a,b  R maka |a+b|  |a|+|b|.

Bila a,b  R maka: ||a| – |b||  |a – b|, |a – b|  |a| + |b|. Akibat Bila a,b  R maka: ||a| – |b||  |a – b|, |a – b|  |a| + |b|.

Bila a1 , a2 ,… an  R Maka |a1 + a2 +…+ an|  |a1| + |a2| +…+|an|. Akibat Bila a1 , a2 ,… an  R Maka |a1 + a2 +…+ an|  |a1| + |a2| +…+|an|.

Contoh {x  R:|2x + 3| < 7} = {x  R: 5 < x < 2}. {x  R:|x – 1| < |x|} = {x  R: x > 1/2}.

Definisi Misalkan a  R dan  < 0. Yang dimaksud perserikatan  dari a adalah himpunan V (a) = {x  R:|x – a| < }.