Metode Galerkin Aplikasinya dalam Problem Aliran Air Tanah oleh Ir. Adam Pamudji R., M.Sc., Ph.D.

Metode Weighted Residual Dalam MEH fungsi yang dicari didekati dengan fungsi lain yaitu fungsi pendekat Fungsi pendekat merupakan fungsi diskret yang juga merupakan fungsi interpolasi dengan koefisien-koefisiennya sama dengan nilai fungsi pendekat di node-node 5/5/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan Fungsi Pendekat fungsi yg dicari fungsi pendekat 5/5/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan Fungsi Interpolasi fungsi yg dicari fungsi pendekat 5/5/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Weighted Residual Fungsi pendekat ini dioperasikan seperti fungsi yang dicari (mis.: operator Laplace) fungsi asal “dioperasikan” fungsi pendekat “dioperasikan” 5/5/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Weighted Residual Pada fungsi asal hasil operasi disyaratkan nol di mana-mana di ruang x,y persamaan pada fungsi asal persamaan pada fungsi pendekat 5/5/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Weighted Residual Untuk mencari pendekat yang terbaik bentuk fungsi dipilih dicari koefisien dengan “optimasi” yaitu minimisasi error atau residu di seluruh domain komputasi Metode WR melakukan minimisasi berdasar 5/5/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Weighted Residual Dapat diperhatikan bahwa terdapat beberapa persamaan, karena j = 1,N Fungsi pembobot ini juga fungsi diskret Koefisien fungsi pendekat dapat dicari jika jumlah persamaan mencukupi, yaitu N = jumlah koefisien Fungsi pembobot juga dipilih 5/5/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode (Bubnov-)Galerkin Metode ini memilih Wj sama dengan fungsi basis interpolasi yaitu Nj Selanjutnya penjelasan akan menggunakan kasus penyelesaian persamaan Laplace untuk fungsi h 5/5/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode (Bubnov-) Galerkin Fungsi pendekat h adalah h, ,maka diperoleh persamaan : Metode Galerkin mensyaratkan: 5/5/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Interpolasi fungsi dan turunannya 5/5/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode (Bubnov-) Galerkin Jika persamaan tersebut dirincikan dengan fungsi pendekat persamaan diskret (yaitu persamaan interpolasi diperoleh : 5/5/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan Integration by Part 5/5/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan Diskretisasi dalam bentuk tensor 5/5/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan Diskretisasi 5/5/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan Aliran di bawah Turap aliran air tanah di bawah dinding beton yang cukup tebal 5/5/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan Persamaan model Fenomena aliran 2DV ini dimodelkan dengan persamaan 5/5/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Diskretisasi Persamaan Interpolasi 2D Aplikasi Galerkin & Green 5/5/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Diskretisasi Persamaan Persamaan Matrks hasil dengan 5/5/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Elemen Segi Tiga Linier 5/5/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan 5/5/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan 5/5/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Taylor-Galerkin 5/5/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Elemen Segi Tiga Linier Ni (x,y) = ai + bix + ciy, ai = (xjyk – xkyj)/2A bi = (yj – yk)/2A, ci = (xk - xj)/2A, A = luas elemen segi tiga 5/5/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Integral Element Segi Tiga Integral fungsi 2D di bawah ini rumit, terutama dalam menentukan batas-batas integralnya Ni (x,y) = ai + bix + ciy, Oleh karena itu dikenal teknik integral dengan menggunakan “natural coordinate system” Untuk sementara dipilih elemen yang mudah integralnya yaitu segi tiga siku-siku sama kaki 5/5/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Elemen Segi Tiga Siku-siku Sama Kaki Ni (x,y) = ai + bix + ciy, ai = (xjyk – xkyj)/2A bi = (yj – yk)/2A, ci = (xk - xj)/2A, A = l2/2 a1= (x2y3 – x3y2)/2A = (l x l – 0 x 0)/2A = 1 b1 = (y2 – y3)/2A = ( 0 – l )/2A = -1/l l x y 1 2 3 c1= (x3 – x2)/2A, = ( 0 – l )/2A = -1/l N1 (x,y) = 1- x/l - y/l = (l – x – y)/l 5/5/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Integral Segi Tiga Siku-siku Sama Kaki x y 1 2 3 N1 (x,y) = (l – x – y)/l N2 (x,y) = x/l N3 (x,y) = y/l 5/5/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Integral Segi Tiga Siku-siku Sama Kaki x y 1 2 3 5/5/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Integral Segi Tiga Siku-siku Sama Kaki x y 1 2 3 5/5/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Integral Segi Tiga Siku-siku Sama Kaki 2 y Integral fungsi basis atau perkaliannya pada segi-tiga dengan ukuran yang sama, hasilnya sama pula Contoh: 1 l x l 3 5/5/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan Elemen 1, 3, dan 5 l x y 1 2 3 5/5/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan x y 1 2 3 Elemen 1, 3, dan 5 5/5/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan Matriks Elemen Elemen 1, 3, 5 l x y 1 2 3 Elemen 2, 4, 6 l x y 1 2 3 5/5/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan Connectivity Table Element no. Local node no. 1 2 3 6 4 7 5 1 3 5 2 4 6 Global node no. 5/5/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan Perakitan Matriks 5/5/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan Perakitan Matriks 5/5/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan Perakitan Matriks 5/5/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Taylor-Galerkin 2 Langkah 5/5/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan