Interpolasi dengan Metode Lagrange Kelompok 6
Interpolasi? “Interpolation is a method of constructing new data points within the range of a discrete set of known data points.” Wikipedia “Given (x0,y0), (x1,y1), …… (xn,yn), find the value of ‘y’ at a value of ‘x’ that is not given.” http://numericalmethods.eng.usf.edu
Kumaha?
Interpolasi ⇒ Piecewise Constant
Interpolasi ⇒ Linear
Interpolasi ⇒ Polynomial
Metode Lagrange Mencari fungsi interpolasi dengan pendekatan polinomial (metode serupa: Newton’s divided difference polynomial method, direct method). Fungsi interpolasi polinomial Lagrange: n = orde ke-n dari fungsi aproksimasi y = f(x) jika diketahui sejumlah (n+1) koordinat berupa (x0,y0), (x1,y1), … , (xn-1,yn-1), (xn,yn). Li(x) = fungsi pembobotan (weighting function)
Metode Lagrange Fungsi pembobotan: n = nilai orde ke-n dikurangi 1 (n - 1) Ketika j = i langkah akan dilewat / dihilangkan
Contoh Kasus Kecepatan terbang sebuah roket disajikan sebagai fungsi waktu dalam tabel berikut. Cari kecepatan roket pada t = 16 detik menggunakan metode Lagrange untuk: Interpolasi linier Interpolasi kuadratik Interpolasi kubik t (s) v(t) (m/s) 10 227.04 15 362.78 20 517.35 22.5 602.97 30 901.67
Interpolasi Linier
Interpolasi Linier
Interpolasi Kuadratik
Interpolasi Kuadratik Absolute relative approximate error yang diperoleh dari perbandingan hasil orde ke-1 dan ke-2 adalah:
Interpolasi Kubik
Interpolasi Kubik Absolute relative approximate error yang diperoleh dari perbandingan hasil orde ke-2 dan ke-3 adalah:
Absolute Relative Approximate Error Tabel Perbandingan Polinomial orde ke- 1 2 3 v(t=16) m/s 393.69 392.19 392.06 Absolute Relative Approximate Error -------- 0.38410% 0.033269%
Memperoleh Jarak dari Fungsi Kecepatan Cari jarak yang ditempuh roket dari t = 11 hingga t = 16 !
Memperoleh Jarak dari Fungsi Kecepatan Fungsi ini berlaku dari t = 10 hingga t = 22.5, sehingga termasuk juga di dalamnya t = 11 dan t = 16, sehingga:
Memperoleh Percepatan dari Fungi Kecepatan Cari percepatan dari roket pada t=16 jika diketahui bahwa: