Praktikum 7 Interpolasi

Tujuan Praktikum Mahasiswa mampu menyelesaikan masalah interpolasi dengan metode-metode yang ada. Mahasiswa mampu menganalisis perbedaan pada setiap metode. Mahasiswa dapat menggunakan, memahami, dan membuat program untuk menyelesaikan permasalahan Interpolasi yang ada.

Ruang Lingkup Polinomial Interpolasi Lagrange Interpolasi Newton Interpolasi dengan Spline: spline Linear & kuadratik

Definisi Interpolasi adalah proses pencarian dan perhitungan nilai suatu fungsi yang grafiknya melewati sekumpulan titik yang diberikan. Dalam hal ini, tujuan utama kita adalah mencari suatu fungsi hampiran yang dapat merepresentasikan fungsi yang rumit agar menjadi lebih sederhana.

Polinomial Polinomial konstan Misalkan P0(x) adalah fungsi polinomial interpolasi. Polinomial tersebut melalui titik(x,y) maka fungsi interpolasinya adalah: Polinomial linear jika P1(x) adalah fungsi polinomial interpolasi yang melalui kedua titik (x1,y1) dan (x2,y2) maka fungsi polinomial dengan dua titik adalah dengan

Polinomial Polinomial berderajat k Jika Pk(x) adalah fungsi polinom interpolasi yang melalui titik sebanyak k maka fungsi polinomnya: dengan

contoh Diketahui f(x)=ln(x) maka diperoleh Dengan interpolasi linear tentukan nilai dari x=9.2 jika diketahui nilai sebenarnya ln(9.2)=2.2192 X 9.0 9.5 Y 2.1972 2.2513

Dengan analitik

Dengan numerik Ada dua langkah yang harus dikerjakan: 1. Mencari nilai a function a=interpolaN(x,y) n=length(x); a(1)=y(1); for k=2:n, P=nilaiPolan(a(1:k-1),x(1:k-1),x(k)); M=prod(x(k)-x(1:k-1)); a(k)=(y(k)-P)/M; end

Dengan numerik 2. Mencari nilai yang diinginkan setelah memperoleh persamaan polinomial function P=nilaipolan(a,X,Z) k=length(a); P=a(1); for j=2:k; P=P+a(j)*prod(Z-X(1:j-1)); end

Interpolasi Lagrange Basic dari polinomial lagrange adalah dengan Sehingga polinomial dibentuk menjadi

Atau lebih sederhananya adalah

Contoh Program function [l,L] = Lagrange(x,y) N = length(x)-1; l = 0; for m = 1:N + 1 P = 1; for k = 1:N + 1 if k ~= m, P = conv(P,[1 -x(k)])/(x(m)-x(k)); end end L(m,:) = P; %koefisien polinom Lagrange l = l + y(m)*P;%Polynomial Lagrange

Contoh Eksekusi X=[-1 0 0.5 1 2 2.5] Y= [2 1 0 1 2 3] [l,L] = Lagrange(X,Y) % mencari nilai Lagrange polynomial xx = [-1: 0.02 : 2.5]; yy = polyval(l,xx); %interpolasi for [-1,2.5] clf, plot(xx,yy,’b’, X,Y,’*’) %plot Hasil???

Interpolasi Newton Polinomial newton : selisih terbagi Nilai-nilai terbagi disimpan ke dalam matriks(array), misalkan D(j,k). Rumus rekursif untuk menghitung elemen-elemen matriks D:

contoh Misalkan buatlah tabel selisih terbagi untuk fungsi f tersebut dengan menggunakan titik- titik x1=1,x2=2,..x6=6 dan tentukan polinomial Newton P3(x) dengan menggunakan x1,x2,x3,danx4.

contoh Kita akan mencari setiap nilai dari matiks D:

Hingga diperoleh hasil seperti dibawah ini: Dan pada akhirnya kita peroleh persamaan

Dalam Matlab function D=selisihN(x,y) n=length(x); D(1,1:n)=y; …D(1,1)=f(x,k)=y for j=2:n, for k=1:n-j+1, D(j,k)=(D(j-1,k+1)-D(j-1,k))/(x(k+j-1)- x(k));……(1,2)-(1,2)/(x(2)-x(1)) end

Interpolasi dengan Spline Spline Linear dan Kuadratik Suatu fungsi spline adalah suaru fungsi yang terdiri atas beberapa potong polinomial yang dirangkai bersama dengan beberapa syarat kemulusan. Misal ada data seperti di bawah ini: Dengan x1<x2<…<xn Spline linear S(x) pada[x1,xn] didefinisikan oleh

dengan

Dalam Matlab Ada dua langkah dalam menyelesaikannya 1. Mencari koefisien-koefisien spline linear function [a,b]=spliner(x,f) n=length(x); for k=1:(n-1), a(k)=(f(k+1)-f(k))/(x(k+1)-x(k)); b(k)=f(k)-a(k)*x(k); end

2. Mencari nilai interpolasinya function S=interspliner(x,f,z) n=length(x); for j=1:length(z), for k=1:(n-1), if(z(j)>=x(k) & z(j)<=x(k+1)), m=(f(k+1)-f(k))/(x(k+1)-x(k)); S(j)=f(k)+m*(z(j)-x(k)); end

contoh Tentukan spline linear yang menginterpolasikan data Dan hitung nilai-nilai S(z) untuk z=-1.5,0.5,0.5,1.5,2.5

Spline kuadratik Spline kuadratik adalah spine yang berderajat dua. Suatu fungsi S(x) merupakan sebuah spline berderajad dua pada [a,b]

Dalam matlab Ada dua langkah dalam menyelesaikannya 1. Mencari nilai-nilai m spline kuadratik function m=spline2(x,f) n=length(x); m(1)=0; for k=2:n, m(k)=2*(f(k)-f(k-1))/(x(k)-x(k-1))-m(k-1); end

2. Mencari nilai interpolasinya function S=interspline2(x,f,z) n=length(x); m=spline2(x,f); for j=1:length(z), for k=1:(n-1), if z(j)>=x(k) & z(j)<=x(k+1), S(j)=(m(k+1)-m(k))/(2*(x(k+1)- x(k)))*(z(j)x(k))^2+m(k)*(z(j)- x(k))+f(k); end

contoh Carilah suatu spline kuadratik interpolan untuk data di bawah ini:

The End

Sekilas Info Ujian praktikum diadakan pada: Tanggal 17 Juli 2010 di lab Matematika Ujian akan di bagi menjadi 3 gelombang