Galat Relatif dan Absolut Galat absolut suatu bilangan adalah selisih antara nilai sebenarnya (dengan anggapan telah diketahui) dgn suatu pendekatan pada nilai sebenarnya. Hubungan antara nilai eksak (nilai sebenarnya), nilai perkiraan dan kesalahan diberikan dalam bentuk : dimana : x = nilai eksak = pendekatan pd nilai sebenarnya e = kesalahan

e kesalahan absolut Kesalahan relatif Kesalahan absolut tidak menunjukkan besarnya tingkat kesalahan. Contoh : Kesalahan 1 cm pd. pengukuran pensil akan sangat terasa dibanding dengan kesalahan yg sama pd pengukuran panjang jembatan. Kesalahan relatif kesalahan absolut dibagi nilai pendekatan galat absolut dibagi nilai sebenarnya Nilai eksak bila diselesaikan secara analitis Metode numerik nilai eksak tidak diketahui Kesalahan diberikan (berdasar pd nilai terbaik dari nilai eksak)

nilai perkiraan terbaik Dalam metode numerik pendekatan iteratif Perkiraan sekarang dibuat berdasar perkiraan sebelumnya, sehingga : dimana : = nilai perkiraan pada iterasi ke n = nilai perkiraan pada iterasi ke n+1

Contoh : Pengukuran panjang jembatan dan pensil memberikan hasil 9999 cm dan 9 cm. Apabila panjang yg benar (eksak) adalah 10.000 cm dan 10 cm. Hitung kesalahan absolut dan relatif! Solusi : Kesalahan absolut Jembatan : = 10.000 – 9999 = 1 cm Pensil : = 10 – 9 = 1 cm Kesalahan relatif Jembatan : Pensil ; Kedua kesalahan sama yaitu 1 cm tetapi kesalahan relatif pensil adalah jauh lebih besar

Deret Taylor Deret Taylor merupakan dasar untuk menyelesaikan masalah dalam metode numerik, terutama penyelesaian persamaan diferensial. Jika fungsi f(x) diketahui di titik xi Semua turunan dari f terhadap x diketahui pada titik tersebut. Dengan deret Taylor dapat dinyatakan nilai f pada titik xi+1 yg terletak pada jarak Dx dari titik xi. dimana : = fungsi di titik x = fungsi di titik x i + 1 = turunan pertama, kedua, …. ke n dari fungsi

= jarak antara xi dan xi + 1 = kesalahan pemotongan ! = operator faktorial, misal 2! = 1 x 2 Kesalahan pemotongan Rn : Order nol (Memperhitungkan satu suku pertama) Perkiraan akan benar bila fungsi yg diperkirakan adalah konstan Order 1 (Memperhitungkan dua suku pertama) Berupa garis lurus ( naik/turun )

Order 2 (Memperhitungkan tiga suku pertama) Gb. Perkiraan suatu fungsi dgn deret Taylor. f(x) Order 2 Order 1 Order 0 x xi+1 i y

Kesalahan Pemotongan pada Deret Taylor Indek n deret yg diperhitungkan sampai suku ke n Indek n +1 kesalahan pemotongan mempunyai order n+1 Kesalahan pemotongan akan kecil bila : Interval D x adalah kecil Memperhitungkan lebih banyak suku deret Taylor Pada perkiraan order 1 besar kesalahan pemotongan :

DIFERENSIAL NUMERIK Digunakan untuk memperkirakan bentuk diferensial kontinyu menjadi bentuk diskret Bentuk diferensial numerik diturunkan berdasar deret Taylor. Atau (a)

Gb. Perkiraan grs singgung suatu fungsi f(x) maju terpusat mundur x xi+1 i y i-1 A B C gr singgung Gb. Perkiraan grs singgung suatu fungsi

Dari persamaan a : Diferensial pertama fungsi f terhadap x di titik xi atau turunan pertama dari f di titik xi didekati oleh kemiringan garis yg melalui titik B {xi,f(xi)} dan titik C {xi+1,f(xi+1)} Bentuk diferensial dari persamaan (a) disebut diferensial maju order satu, hal ini disebabkan menggunakan data dari xi dan xi+1 Diferensial mundur: xi dan xi-1 (b) (c)

Diferensial terpusat : xi-1 dan xi+1 atau Atau (d) Diferensial maju kesalahan berorder Diferensial mundur kesalahan berorder Diferensial terpusat kesalahan berorder

Untuk D x kecil kesalahan berorder Dx2 < order Dx Perkiraan diferensial order terpusat lebih teliti dibanding diferensial maju/mundur Bila persamaan (a) dijumlah dg persamaan (b) atau Atau (e)

Demikian pula diferensial fungsi f terhadap t Dt n n+1 n-1 t x i i+1 i-1 Dx Gambar Kisi hitungan