Pertemuan 11 Matrik III dan Determinan Aljabar Linear Pertemuan 11 Matrik III dan Determinan Erna Sri Hartatik

Sub Bahasan Determinan Reduksi baris Perluasan kofaktor Eigen value dan eigen vektor

Reduksi baris Metode ini penting untuk menghindari perhitungan panjang yang terlibat dalam penerapan definisi determinan secara langsung.

Contoh: Hitung det(A) dimana A = Baris I ditukar dengan baris II ( H21), sehingga menjadi = - H31(-2) = - 3 H32(-10) = - 3 = - 3 = (-3) (-55) = (-3) (-55) (1) = 165

Minor & Perluasan Kofaktor  

Cara cepat untuk menentukan apakah penggunaan tanda + atau tanda – merupakan penggunaan tanda yang menghubungkan Cij dan Mij berada dalam baris ke – i dan kolom ke – j dari susunan : Misalnya C11 = M11, C21 = -M21 , C44 = M44, C23 = -M23

yaitu setiap 1  i  n dan 1  j  n , maka Determinan matrik A yang berukuran n x n dapat dihitung dengan mengalikan elemen – elemen dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor – kofaktornya dan menambahkan hasil kali – hasil kali yang dihasilkan, yaitu setiap 1  i  n dan 1  j  n , maka det(A) = a1jC1j + a2jC2j + … + anjCnj (ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke – j) Dan det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … + ainCin (ekspansi kofaktor sepanjang baris ke – i)

Contoh: Hitung Det(A) bila A = = 3 - 1 + 0 = (3)(-4) – (1)(-11) Dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama = 3 - 1 + 0 = (3)(-4) – (1)(-11) = -12 + 11 = -1

Eigen value & Eigen vektor Jika A adalah matrik n x n, maka vektor tak nol x di dalam Rn dinamakan vektor eigen dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yaitu, Ax = x Untuk suatu skalar . Skalar  disebut nilai eigen dari A dan x dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan .

Dan persamaan di atas akan mempunyai penyelesaian jika det(I – A)=0 Vektor x = adalah vektor eigen dari A = Yang bersesuaian dengan nilai  = 3 karena Untuk mencari nilai eigen matrik A yang berukuran n x n maka kita menuliskannya kembali Ax = x sebagai Ax = Ix  (I – A)x = 0 Dan persamaan di atas akan mempunyai penyelesaian jika det(I – A)=0 persamaan karakteristik A.

Contoh Carilah nilai – nilai eigen dari A = Jawab : Karena I – A =  - = Det(I – A) = (-3)  - (-2) = 0 = 2 - 3 + 2 = 0 1 = 2, 2 = 1   Jadi nilai – nilai eigen dari A adalah 1 = 2 dan 2 = 1

latihan Tentukan niai invers dengan menggunakan reduksi baris dari A = perluasan kofaktor kemudian tentukan nilai eigennya A =