ANALISIS REAL I RINA AGUSTINA, M. Pd.

DEFINISI 3.3.4 Misalkan X = xn barisan bilangan real dan 𝑟 1 < 𝑟 2 <…< 𝑟 𝑛 <… barisan bilangan asli yang naik, maka X’ barisan yang diberikan oleh: 𝑥 𝑟 1 , 𝑥 𝑟 2 ,…, 𝑥 𝑟 𝑛 ,… disebut subbarisan dari X.

TEOREMA 3.3.5 Jika barisan X = xn konvergen ke x, maka sebarang subbarisan dari X juga konvergen ke x.

BUKTI: Diberikan sebarang 𝜀>0, ∃𝐾∈𝑁∋𝑛≥𝐾, berlaku: 𝑥 𝑛 −𝑥 <𝜀 Karena 𝑟 1 < 𝑟 2 <…< 𝑟 𝑛 <… adalah barisan bilangan asli naik, maka 𝑟 𝑛 ≥𝑛.

Akibatnya, jika 𝑛≥𝐾, maka 𝑟 𝑛 ≥𝑛 ≥𝐾 sehingga: 𝑥 𝑟 𝑛 −𝑥 <𝜀 Jadi subbarisan ( 𝑥 𝑛 ) juga konvergen ke x.

TEOREMA 3.3.6 Kriteria Kedivergenan Misalkan X = xn barisan bilangan real, maka ketiga pernyataan berikut ekuivalen: Barisan X = xn tidak konvergen ke x ∈𝑅 ∃ 𝜀 0 >0∋𝑘∈𝑁,∃ 𝑟 𝑘 ∈𝑁 dengan 𝑟 𝑘 ≥𝑘∋ 𝑥 𝑟 𝑘 −𝑥 ≥ 𝜀 0 ∃ 𝜀 0 >0 dan subbarisan X ‘ = xn dari barisan X ∋ 𝑥 𝑟 𝑘 −𝑥 ≥ 𝜀 0 , ∀𝑛∈𝑁

BUKTI: (a) → 𝑏 Jika X = xn tidak konvergen ke x, maka ∃ 𝜀 0 >0,∀𝑛≥𝐾. Dengan kata lain, ∀𝑘∈𝑁∃ 𝑟 𝑘 ∈𝑁, 𝑟 𝑘 ≥𝑘∋ 𝑥 𝑟 𝑘 −𝑥 ≥ 𝜀 0

(b) → 𝑐 Misalkan 𝜀 0 memenuhi kondisi (b), dan 𝑟 1 ∈𝑁 sehingga 𝑟 1 ≥1 dan 𝑥 𝑟 1 −𝑥 ≥ 𝜀 0 Misalkan 𝑟 2 ∈𝑁 dipilih sehingga 𝑟 2 ≥ 𝑟 1 +1 dan 𝑥 𝑟 2 −𝑥 ≥ 𝜀 0 Proses ini diteruskan sehingga diperoleh subbarisan X’=( 𝑥 𝑟 𝑛 )dari X sehingga 𝑥 𝑟 3 −𝑥 ≥ 𝜀 0

(c) → 𝑏 Misalkan X = ( 𝑥 𝑛 ) mempunyai subbarisan X’=( 𝑥 𝑟 𝑛 ) yang memenuhi (c), maka X tidak mungkin konvergen ke x. Karena jika X konvergen ke x, maka X’=( 𝑥 𝑟 𝑛 ) juga konvergen ke x. Tetapi hal ini tidak mungkin, karena tak satu sukupun dari X’ yang memenuhi 𝑥 𝑛 −𝑥 < 𝜀 0

TEOREMA 3.3.7 Misalkan X = ( 𝑥 𝑛 ) barisan bilangan real terbatas dan 𝑥∈𝑅. Jika setiap subbarisan dari X konvergen, konvergen ke x, maka barisan X konvergen ke x.

BUKTI: Misalkan M > 0 sehingga 𝑥 𝑛 ≤𝑀,∀𝑛∈𝑁. Andaikan X tidak konvergen ke x, maka menurut kriteria kedivergenan: ∃ 𝜀 0 >0 dan subbarisan X = ( 𝑥 𝑛 ) dari X sehingga: 𝑥 𝑛 𝑟 −𝑥 ≥ 𝜀 0 ,∀𝑛∈𝑁

Karena X’ subbarisan dari X, maka M juga batas dari X’ Karena X’ subbarisan dari X, maka M juga batas dari X’. Menurut teorema Bolzano-Weierstrass: X’ mempunyai subbarisan X” yang konvergen.

Karena X”juga subbarisan dari X, maka X” konvergen ke x Karena X”juga subbarisan dari X, maka X” konvergen ke x. Akibatnya mulai suku tertentu dari X” yang termuat di persekitaran 𝜀 0 . Karena setiap suku dari X” juga suku dari X’, maka kontradiksi dengan: 𝑥 𝑛 𝑟 −𝑥 ≥ 𝜀 0 ,∀𝑛∈𝑁

BARISAN DIVERGEN SEJATI Misalkan X = ( 𝑥 𝑛 ) barisan bilangan real. Barisan 𝑥 𝑛 dikatakan menuju ke +∞, ditulis lim 𝑛→∞ 𝑥 𝑛 =+∞, ∀𝛼∈𝑅∃𝐾 𝛼 ∈𝑁∋𝑛≥𝐾(𝛼), 𝑥 𝑛 >𝛼

(b) Barisan 𝑥 𝑛 dikatakan menuju ke −∞, ditulis lim 𝑛→∞ 𝑥 𝑛 =−∞, ∀𝛽∈𝑅∃𝐾 𝛽 ∈𝑁∋𝑛≥𝐾(𝛽), 𝑥 𝑛 >𝛽

CONTOH: lim 𝑛→∞ 𝑛 =+∞ jika diberikan sebarang α∈𝑅, maka dapat dipilih 𝐾 𝛼 ∈𝑁 sehingga 𝐾 𝛼 > 𝛼. Akibatnya, 𝑛≥𝐾 𝛼 , berlaku 𝑥 𝑛 =𝑛≥𝐾 𝛼 >𝛼

CONTOH: lim 𝑛→∞ 𝑛 =+∞ jika diberikan sebarang α∈𝑅, maka dapat dipilih 𝐾 𝛼 ∈𝑁 sehingga 𝐾 𝛼 > 𝛼. Akibatnya, 𝑛≥𝐾 𝛼 , berlaku 𝑥 𝑛 =𝑛≥𝐾 𝛼 >𝛼

(b) Jika c>1, maka lim 𝑛→∞ 𝑐 𝑛 =+∞ Misalkan c = 1 + b, dengan b > 0. Diberikan sebarang 𝛼∈𝑅. Pilih K(𝛼)∈𝑁 sehingga K(𝛼) > 𝑎 𝑏 . Jika 𝑛≥𝐾(𝛼) berlaku: 𝑥 𝑛 = 𝑐 𝑛 = (1+𝑏) 𝑛 ≥1+𝑛𝑏>1+𝛼>𝛼 Jadi lim 𝑛→∞ 𝑐 𝑛 =+∞