Harapan Matematik

Rataan Peubah Acak Definisi 1: Misalkan X suatu peubah acak dengan distribusi peluang f(X). Nilai harapan atau rataan X adalah bila X diskrit bila X kontinu

Contoh : Misalkan peubah acak X menjalani harga-harga 1,2,…, 6 dengan probabilitas 1/6. Tentukan nilai harapannya! Jawab E(X) = 1(1/6) + 2(1/6)+ … + 6(1/6) = 3,5

Contoh: Misalkan X peubah acak yang menyatakan umur dalam jam satu jenis bola lampu pijar. Fungsi padat peluangnya diberikan oleh Hitunglah harapan umur bola lampu tersebut! Jawab Jadi bola lampu tadi diharapkan rata-rata umurnya 200 jam

Teorema 1: Misalkan X suatu peubah acak dengan distribusi peluang f(X). Nilai harapan atau rataan g(X) adalah bila X diskrit bila X kontinu

Contoh: Misalkan X menyatakan banyaknya mobil yang masuk ke suatu tempat pencuci mobil setiap hari antara jam 13.00 – 14.00 mempunyai distribusi peluang: X 4 5 6 7 8 9 P(X=x) 1/12 1/4 1/6 Andaikan g(X)=2X-1 menyatakan upah para karyawan (dalam ribuan rupiah) yang dibayar oleh perusahaan dalam jam tersebut. Cari harapan pendapatan karyawan pada jam tersebut.

Jawab: Menurut Teorema, harapan penerimaan para karyawan

Contoh: Misalkan X suatu peubah acak dengan fungsi padat Hitunglah nilai harapan g(X)=4X+3 Jawab:

Teorema 2: Bila a dan b konstanta, maka E(aX+b)=aE(X)+b

Contoh: Misalkan X adalah peubah acak dengan rataan μ=5/4, Hitunglah rataan peubah acak Z=4X+3 Jawab: E(Z)=E(4X+3)=4E(X)+3=4(5/4)+3=8

Variansi Definisi 2: Misalkan X suatu peubah acak dengan distribusi peluang f(X) dan rataan μ. Variansi X adalah Bila X diskrit Bila X kontinu Akar positif variansi, σ, disebut simpangan baku X.

Contoh: Misalkan peubah acak X menyatakan banyaknya mobil yang digunakan untuk keperluan dinas kantor pada setiap hari kerja. Distribusi peluangnya adalah Hitunglah variansi peubah acak X! Jawab X 1 2 3 f(X) 0,3 0,4

Contoh: Permintaan mingguan minuman madu dalam ribuan liter pada suatu jaringan pemasaran di daerah, merupakan peubah acak kontinu X dengan fungsi padatan peluang Cari rataan dan variansi X! Jawab

Teorema 3: Variansi peubah acak X adalah Teorema 4: Misalkan X suatu peubah acak dengan distribusi peluang f(X). Variansi g(X) adalah Bila X diskrit Bila X kontinu

Teorema 5: Bila a dan b konstanta, maka Contoh: Misalkan X adalah peubah acak dengan variansi Hitunglah variansi peubah acak Z= 4X+3 Jawab: Jadi variansi peubah acak Z adalah 32

Latihan soal Misalkan 0,1,2, atau 3 seringnya mati listrik di suatu daerah dalam sebulan dengan peluang masing-masing: 0,4; 0,3; 0,2 dan 0,1. Carilah rataan dan variansi peubah acak X yang menyatakan banyaknya mati listrik pada daerah tadi!