Pemrograman Non Linier(NLP) Semester Ganjil 2013/2014 11/20/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Konsep NLP Mencari nilai dari suatu peubah keputusan x1, ..., xn dari permasalahan: max (min) z =f(x1,...xn) s.t. g1 (x1,...xn) (≤,=,≥)b1 . gm (x1,...xn) (≤,=,≥)bm di mana z dan gi, i = 1, ..., n suatu fungsi yang non linier. Dimungkinkan maksimisasi/minimisasi tanpa kendala 11/20/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Perbedaan antara NLP dan Pemrograman Linier (LP) Himpunan Konveks (Convex set): himpunan titiktitik S di mana sembarang pasangan titik di dalam himpunan S dihubungkan oleh garis yang seluruh titik pada garis tersebut juga di S 11/20/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc (a) dan (b) himpunan konveks
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Definisi daerah feasibel (feasible region): Himpunan titik (x1,...xn) yang memenuhi seluruh m kendala Definisi solusi optimal bagi NLP Kasus maks: Kasus min: Suatu titik di feasible region di mana Untuk semua x di feasible region Suatu titik di feasible region di mana Untuk semua x di feasible region 11/20/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Di dalam LP dengan daerah feasibel yang berupa himpunan konveks, solusi optimal adalah salah satu dari titik ekstrim (titik pojok) Di dalam NLP, walalupun daerah feasibel berupa himpunan konveks, solusi optimal belum tentu pada titik ekstrim (titik pojok) 11/20/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Contoh 1: Jika digunakan K unit alat dan L orang tenaga kerja, maka suatu perusahaan dapat memproduksi KL unit suatu produk. Jika alat dapat dibeli $4 per unit, tenaga kerja harus dibayar $1/orang, dan dimiliki modal $8 untuk membeli alat dan membayar tenaga kerja, bagaimana perusahaan tadi memaksimumkan jumlah barang yang akan diproduksi? 11/20/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Fungsi obyektif: memaksimumkan jumlah produksi sebagai fungsi dari alat dan tenaga kerja Kendala modal, dan non negatifitas Daerah feasibel (ABC) berupa himpunan konveks Titik D terkena garis isoprofit paling akhir, tapi bukan titik pojok 11/20/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Contoh 2: Kasus di mana fungsi obyektif berupa fungsi kuadratik yang akan dimaksimumkan, dan daerah feasibel adalah selang tertutup di antara 0 sampai dengan 1. 11/20/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Garis isoprofit bukan garis lurus (non linier) Daerah feasibel berupa selang Titik ekstrim seharusnya adalah x=0 dan x=1 Akan tetapi solusinya adalah x=½ yang bukan titik ekstrim 11/20/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Ekstremum Lokal (maks/min) Suatu titik feasibel x = (x1, ... , xn) adalah titik maksimum lokal jika - Untuk relatif kecil dan sembarang titik feasibel x’ = (x’1, ... , x’n) di mana Berlaku: 11/20/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Ekstremum Lokal (maks/min) Suatu titik feasibel x = (x1, ... , xn) adalah titik minimum lokal jika - Untuk relatif kecil dan sembarang titik feasibel x’ = (x’1, ... , x’n) di mana Berlaku: 11/20/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Ekstremum Lokal (maks/min) Untuk suatu LP maksimum/minimum lokal pasti solusi optimal, tetapi tidak untuk NLP 11/20/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Contoh 3 Fungsi obyektif non linier dengan daerah feasibel berupa selang tertutup di antara 0 sampai dengan 10 11/20/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Titik A dan B adalah titik maksimum lokal Akan tetapi hanya C yang merupakan solusi optimal karena bersifat maksimum global 11/20/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc NLP tidak mempunyai asumsi aditif dan proportionalitas seperti di dalam LP Pada LP jika nilai peubah keputusan x dinaikkan satu unit, maka fungsi obyektif akan meningkat/menurun secara proporsional Tidak berlaku bagi NLP 11/20/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Contoh 4 Diberikan NLP berikut ini Jika x diperbesar 2 kali lipat, kontribusi terhadap z tidak akan 2 kali lipat ataupun kelipatannya. 11/20/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc