Rumus-rumus Trigonometri BAB 3 Rumus-rumus Trigonometri

Standar Kompetensi: Kompetensi Dasar: Menurunkan rumus trigonometri dan penggunaannya. Kompetensi Dasar: Menggunakan rumus sinus dan kosinus jumlah dua sudut, selisih dua sudut, dan sudut ganda untuk menghitung sinus dan kosinus sudut tertentu. Menurunkan rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus. Menggunakan rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus.

RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI JUMLAH DAN SELISIH Rumus untuk cos (  ) Rumus untuk sin (  ) Rumus untuk tan (  ) 1

1. Rumus untuk cos (  ) a. Rumus untuk cos ( + ) X Y C(cos( + ), sin ( + ) B(cos , sin ) D(cos , sin ) A(1,0)     AC2 = {cos ( + )  1}2 + {sin ( + )  0}2 = cos2 ( + )  2 cos ( + ) +1 + sin2 ( + ) = {cos2 ( + ) + sin2 ( + )} +1  2 cos ( + ) = 1 AC2 = 2  2 cos ( + ) 2

cos ( + ) = cos  cos   sin  sin  BD2 = (cos   cos )2 + (sin   sin )2 = cos2   2 cos  cos  + cos2  + sin2  + 2 sin  sin  + sin2  = (cos2  + sin2 ) + (cos2  cos  + sin2 )  2 cos  cos  + 2 sin  AC2 = BD2 2  2 cos ( + ) = 2  2 cos  cos  + 2 sin  sin . cos ( + ) = cos  cos   sin  sin . cos ( + ) = cos  cos   sin  sin  3

cos (  ) = cos  cos  + sin  sin  b. Rumus untuk cos ( ) cos (  ) = cos ( + ()) = cos  cos ()  sin  sin () = cos  cos   sin  (sin ) = cos  cos  + sin  sin  Catatan: cos () = cos  Sin () = sin  cos (  ) = cos  cos  + sin  sin  4

2. Rumus untuk sin (  ) a. Rumus untuk sin ( + ) sin ( + ) = cos (  ( + ) 2  = cos ((  )  ) = cos (  ) cos  + sin (  ) sin . sin  cos  sin ( + ) = sin  cos  + cos  sin  b. Rumus untuk sin (  ) sin (  ) = sin  cos   cos  sin  5

3. Rumus untuk tan (  ) a. Rumus untuk tan ( + ) tan + tan  sin ( + ) cos ( + ) sin  cos  + cos  sin  cos  cos   sin  sin  =  cos  cos  1 sin  cos  cos  sin  +  tan  = sin  cos  tan + tan  tan ( + ) = 1  tan tan  b. Rumus untuk tan (  ) tan (  ) = tan  tan  1 + tan tan  6

RUMUS TRIGONOMETRI SUDUT GANDA cos 2 Rumus untuk tan 2 cos  1 2 sin 2 tan  1 2 sin  1 2 7

a. Rumus untuk sin 2 b. Rumus untuk cos 2 sin 2 = 2 sin  cos  sin ( + ) = sin  cos  + cos  sin  sin ( + ) = sin  cos  + cos  sin   sin 2 = sin  cos  + sin  cos  (ingat cos  sin  = sin  cos )  sin 2 = 2 sin  cos  Jadi, rumus untuk sin 2 adalah sin 2 = 2 sin  cos  b. Rumus untuk cos 2 cos ( + ) = cos  cos   sin  sin  cos 2 = cos2   sin2  Jadi, rumus untuk cos 2 adalah cos 2 = cos2   sin2  8 cos 2 = cos2   1 cos 2 = 1  2 sin2 

c. Rumus untuk tan 2 Jadi, rumus untuk tan 2 adalah 2 tan  tan 2 = 9

d. Rumus untuk sin  1 2 1  cos 2  sin  =  1 2  =  sin  =  Jadi, rumus untuk sin  adalah sin  =  1 2 1  cos 2 

e. Rumus untuk cos  1 2 f. Rumus untuk tan  1 2 cos  =  1 2 atau tan  =  1 2 sin  1 + cos  tan  =  1 2 1  cos  sin  11

RUMUS PERKALIAN SINUS DAN KOSINUS Rumus untuk 2 sin  cos  Rumus untuk 2 cos  sin  Rumus untuk 2 cos  cos  Rumus untuk 2 sin  sin  12

2 sin  cos  = sin ( + ) + sin (  ). a. Rumus untuk 2 sin  cos  sin ( + ) = sin  cos  + cos  sin  sin (  ) = sin  cos   cos  sin  sin ( + ) + sin (  ) = 2 sin  cos  + Jadi, 2 sin  cos  = sin ( + ) + sin (  ). b. Rumus untuk 2 cos  sin  sin ( + ) = sin  cos  + cos  sin  sin (  ) = sin  cos   cos  sin  sin ( + )  sin (  ) = 2 cos  sin   Jadi, 2 cos  sin  = sin ( + )  sin (  ). 2 cos  sin  = sin ( + )  sin (  ).

c. Rumus untuk 2 cos  cos  d. Rumus untuk 2 sin  sin  cos ( + ) = cos  cos   sin  sin  cos (  ) = cos  cos  + sin  sin  cos ( + ) + cos (  ) = 2 cos  cos  + Jadi, 2 cos  cos  = cos ( + ) + cos (  ). d. Rumus untuk 2 sin  sin  cos ( + ) = cos  cos   sin  sin  cos (  ) = cos  cos  + sin  sin  cos ( + )  cos (  ) = 2 sin  sin   Jadi, 2 cos  cos  = cos ( + ) + cos (  )

RUMUS JUMLAH DAN SELISIH PADA SINUS DAN KOSINUS sin A + sin B = 2 sin (A + B) cos (A  B) 1 2 sin A  sin B = 2 cos (A + B) sin (A  B) 1 2 cos A + cos B = 2 cos (A + B) cos (A  B) 1 2 cos A  cos B = 2 cos (A + B) sin (A  B) 1 2 15

IDENTITAS TRIGONOMETRI Cara-cara membuktikan kebenaran suatu identitas trigonometri dengan menggunakan kembali rumus- rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut, rumus trigonometri sudut ganda, dan rumus trigonometri untuk sudut . 1 2 16

Selain itu, rumus-rumus trigonometri dasar yang akan sering digunakan adalah: Rumus-rumus kebalikan: Rumus-rumus perbandingan: Rumus-rumus pythagoras: Rumus-rumus trigonometri untuk sudut-sudut berelasi. sec  = cosec  tan  , dan 1 cos  , sin  cot  . tan  = cot  sin  cos  dan . sin2  + cos2  = 1,1 + tan2 , dan 1 + cot2  = cosec2  17