BILANGAN REAL Bariudin Talib
Pada sistem bilangan bulat yang dilengkapi operasi tambah (+) dan operasi kali (. atau ×) akan membentuk suatu ring (gelanggang) yang memenuhi sifat:
Pada himpunan bilangan riil R terdapat dua operasi biner yang dilambangkan dengan + dan. dan berturut-turut disebut penambahan dan perkalian. Operasi tersebut mempunyai sifat
Sifat Urutan pada R Pada himpunan bilangan real R, terdapat himpunan tak kosong P dari R yang memenuhi sifat (1). Jika a, b di P, maka a + b di P (2). Jika a, b di P, maka ab di P (3). Jika a di R, maka tepat satu pernyataan berikut dipenuhi: a ∈ P, a = 0, a ∉ P sifat ini disebut sifat trikotomi.
Nilai Mutlak Misalkan a ∈ R, nilai mutlak dari a adalah bilangan nonnegatif yang besarnya a atau –a. Definisi 17. Jika ∈, nilai mutlak dari, dilambangkan dengan, didefinisikan dengan = jika ≥ 0, = − jika < 0.
Kelengkapan pada R Suprimum dan Infimum Definisi 24 (Definisi batas atas dan batas bawah). Misalkan S himpunan bagian dari R. (1) Unsur u ∈ R, dikatakan batas atas dari S jika s ≤ u untuk semua s ∈ S. (2) Unsur w ∈ R, dikatakan batas bawah dari S, jika s ≥ w untuk semua s ∈ S.
Definisi 25 (Definisi Suprimum dan Infimum) Misalkan S ⊂ R. (1) Jika S terbatas di atas, maka suatu batas atas dikatakan suprimum (batas atas terkecil) dari S, jika ia lebih kecil dari setiap batas atas yang lain dari S. (2) Jika S terbatas di bawah, maka suatu batas bawah dikatakan infimum (batas bawah terbesar) dari S, jika ia lebih besar dari setiap batas bawah yang lain dari S.
Sifat Suprimum dan Infimum pada R Teorema 27. (Teorema Suprimum) Setiap himpunan tak-kosong dari bilangan real yang mempunyai batas atas,mempunyai suprimum.
Sifat Archimedes pada R
Kerapatan Bilangan Rasional.