PERSAMAAN TRIGONOMETRI

tayangan ini anda dapat Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat Menyelesaikan persamaan trigonometri dari berbagai bentuk

sinx = sin ,  x =  + k.360° atau x = (180 - ) + k.360° Persamaan Trigonomteri Sederhana sinx = sin ,  x =  + k.360° atau x = (180 - ) + k.360° 2. cos x = cos ,  x =  + k.360° atau x = - + k.360° 2π 2π

π 3. tan x = tan  x =  + k.180° dengan x  R dan k  bilangan bulat

Contoh 1: Himpunan penyelesaian sin x = sin 70°, 0° x  360° Jawab: x = 70° + k.360° k = 0  x = 70° atau x = (180 - 70) + k.360° x = 110° + k.360° k = 0  x = 110° Jadi, Hp = {70°, 110°}

Contoh 2: Himpunan penyelesaian cos x = cos 24°, dalam interval 0° x  360° Jawab: x = 24° + k.360° k = 0  x = 24° atau x = -24° + k.360° k = 1  x = -24° + 360° = 336° Jadi, Hp = {24°, 336°}

Contoh 3: Himpunan penyelesaian tan x = tan 56°, dalam interval 0° x  360° Jawab: x = 56° + k.180° k = 0,  x = 56° k = 1  x = 56° + 180° = 236° Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 52°, 236°}

sinpx = a, cospx = a dan tanpx = a Persamaan Berbentuk sinpx = a, cospx = a dan tanpx = a diselesaikan dengan cara mengubah ke persamaan sederhana, yaitu dengan merubah ruas kanan (konstanta a) menjadi perbandingan trigonometri yang senama dengan ruas kiri

Contoh 1: Himpunan penyelesaian sin 3x = ½, 0° x  180° Jawab: sin 3x = sin 30° maka • 3x = 30° + k.360° x = 10° + k.120° k = 0  x = 10° k = 1  x = 10° + 120° = 130°

• 3x = (180 - 30) + k.360° 3x = 150° + k.360° x = 50° + k.120° k = 0  x = 50° k = 1  x = 50° + 120° = 170° Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 10°, 50°, 130°, 170°}

Contoh 2: Himpunan penyelesaian cos (x + ¾π) = ½√2 , 0  x  2π Jawab: cos (x + ¾π) = cos¼π • (x + ¾π) = ¼π + 2k.π x = -¾π + ¼π + 2k.π x = -½π + 2k.π k = 1  x = -½π + 2π = 1½π • (x + ¾π) = -¼π + 2k.π

• (x + ¾π) = -¼π + 2k.π x = -¾π - ¼π + 2k.π x = -π + 2k.π k = 1  x = -π + 2π = π Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 1½π, π }

Contoh 3: Himpunan penyelesain tan ⅓x = √3, 0° x  2π Jawab: tan⅓x = tan ⅓π ⅓x = ⅓π + 2k.π x = π + 6k.π k = 0,  x = π Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { π }

Contoh 4: Himpunan penyelesaian 2cos x + 1= 0 , 0°  x  360° Jawab: 2cosx + 1 = 0 2cosx = -1 cosx = -½ x = 120°, 210° Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {120°, 210°}

Persamaan Trigonometri yang memuat Jumlah atau Selisih sinus atau kosinus Menggunakan rumus: sinA + sinB = 2sin½(A + B)cos½(A – B) sinA – sinB = 2cos½(A + B)sin½(A – B) cosA + cosB= 2cos½(A + B)cos½(A – B) cosA – cosB=-2sin½(A + B)sin½(A – B)

Contoh 1: Himpunan penyelesaian sin 3x + sinx = 0, 0° x  180° Jawab: sin3x + sinx = 0 2sin½(3x + x).cos½(3x - x) = 0 2sin2x.cosx = 0  sin 2x = 0 atau cosx = 0

sin 2x = 0 atau cosx = 0 • dari sin2x = 0  sin2x = sin 0° diperoleh 2x = 0° + k.360° x = 0° + k.180° k = 0  x = 0° k = 1  x = 180° • dari cosx = 0  cosx = cos90° diperoleh x = 90° + k.360°

• dari cosx = 0  cos x = cos 90° diperoleh x = 90° + k.360° k = 0  x = 90° atau x = -90° + k.360° tidak ada harga x yang memenuhi Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 0°, 90°, 180°}

Contoh 2: Himpunan penyelesaian sin 3x - sinx + cos2x = 0, 0  x  2π Jawab: (sin3x – sinx) + cos2x = 0 2cos½(3x + x).sin½(3x - x) + cos2x= 0 2cos2x.sinx + cos2x = 0 cos2x (2sinx + 1) = 0

cos2x (2sinx + 1) = 0 cos2x = 0 atau 2sinx + 1 = 0 dari cos2x = 0  cos2x = cos½π 2x = ½π + 2kπ x = ¼π + kπ k = 0  x = ¼π k = 1  x = ¼π + π = 1¼π 2x = -½π + 2kπ

2x = -½π + 2kπ x = -¼π + kπ k = 1  x = -¼π + π = ¾π k = 2  x = -¼π+ 2π = 1¾π Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { ¼π,1¼π, ¾π, 1¾π}

Contoh 3: Himpunan penyelesaian sin(x + 60°) + sin(x - 30°) = ½√2, dalam interval 0°  x  360° Jawab: sin(x + 60°) + sin(x - 30°) = ½√2 2sin½{(x + 60°) + (x - 30°)} x cos½{(x + 60°) – (x – 30°)} = ½√2

cos½{(x + 60°) – (x – 30°)} = ½√2 2sin½(2x + 30°)cos½(90°) = ½√2 2sin½{(x + 60°) + (x - 30°)} x cos½{(x + 60°) – (x – 30°)} = ½√2 2sin½(2x + 30°)cos½(90°) = ½√2 2sin(x + 15°)cos45° = ½√2 2sin(x + 15°).½√2 = ½√2 sin(x + 15°) = ½ sin(x + 15°) = sin 30° • x + 15° = 30° + k.360° 1

sin(x + 15°) = sin 30° • x + 15° = 30° + k.360° x = 15° + k.360° k = 0  x = 15° • x + 15° = (180° – 30°) + k.360° x = 150° – 15° + k.360° k = 0  x = 135° Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 15°, 135°}

Contoh 4: Himpunan penyelesaian cos(x + 65°) + cos(x - 25°) = ½√2, dalam interval 0°  x  360° Jawab: cos(x + 65°) + cos(x - 25°) = ½√2 2cos½{(x + 65°) + (x - 25°)} x cos½{(x + 65°) – (x – 25°)} = ½√2

cos½{(x + 65°) – (x – 25°)} = ½√2 2cos½(2x + 40°)cos½(90°) = ½√2 2cos½{(x + 65°) + (x - 25°)} x cos½{(x + 65°) – (x – 25°)} = ½√2 2cos½(2x + 40°)cos½(90°) = ½√2 2cos(x + 20°)cos45°=½√2 2cos(x + 20°).½√2 = ½√2 cos(x + 20°) = ½ cos(x + 20°) = cos60° x + 20° = 60° + k.360° 1

cos(x + 20°) = cos60° • x + 20° = 60° + k.360° x = 40° + k.360° k = 0  x = 40° • x + 20 = - 60° + k.360° x = - 80° + k.360° k = 1  x = -80° + 360° x = 280° Jadi, Hp = { 40°, 280°}

Langkah ke-2 2. Bila belum berbentuk persamaan kuadrat dalam sin ,cos atau tan, ubah dulu ke bentuk persamaan kuadrat dalam sin, cos atau tan, dengan menggunakan: Rumus trigonometri sederhana Rumus trigonomteri sudut rangkap

Persamaan Trigonometri yang berbentuk persamaan kuadrat dalam sin, cos atau tan Langkah-langkahnya: Langsung difaktorkan bila sudah berbentuk persamaan kuadrat dalam sin ,cos atau tan.

Contoh 1: Himpunan penyelesaian 2sin2x + 3sinx – 2 = 0, 0° x  360° Jawab: 2sin2x + 3sinx – 2 = 0 (2sinx – 1)(sinx + 2) = 0 2sin x – 1 = 0 atau sinx + 2 = 0 • 2sin x – 1 = 0  2sinx = 1 sinx = ½

sinx = ½  sinx = sin 30° x = 30° + k.360° k = 0  x = 30° x = (180° – 30°) + k.360° x = 150° + k.360° k = 0  x = 150° • Untuk sinx + 2 = 0,  sin x = -2 tidak ada nilai x yang memenuhi. Jadi, Hp = { 30°, 150°}

Contoh 2: Himpunan penyelesaian cos2x + 2cosx = 3, 0° x  360° Jawab: cos2x + 2cosx = 3 cos2x + 2cosx – 3 = 0 (cosx + 3)(cosx – 1) = 0 • cosx + 3 = 0  cosx = -3 tidak ada harga x yang memnuhi

(cosx + 3)(cosx – 1) = 0 • cosx - 1= 0  cosx = 1 x = 0°, 360° Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {0°, 360°}

Contoh 3: Himpunan penyelesaian tan2x – 3 = 0, 0° x  360° Jawab: tan2x – 3 = 0 (tanx + √3)(tan - √3) = 0 • tanx + √3 = 0  tanx = -√3 x = 120°, 300°

(tanx + √3)(tan - √3) = 0 tanx - √3 = 0  tanx = √3 x = 60°, 240° Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {60°, 120°, 240°, 300°}

Contoh 4: Himpunan penyelesaian cos2x – sinx = 1, 0° x  360° Jawab: cos2x – sinx = 1 1 - 2sin2x – sinx = 1 sinx(- 2sinx – 1) = 0 sinx = 0 atau -2sinx – 1 = 0 • sin x = 0  x = 0°, 180°, 360° • -2sinx – 1 = 0  -2sinx = 1

-2sinx – 1 = 0 -2sinx = 1 sinx = -½ x = 210°, 330° Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 0°, 180°, 210°, 330°, 360°}

Contoh 5: Himpunan penyelesaian cos2x – 3cosx + 2 = 0, 0° x  360° Jawab: cos2x – 3cosx +2 = 0 2cos2x – 1 – 3cosx + 2 = 0 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (2cosx – 1)(cosx – 1) = 0 • 2cosx – 1 = 0  2cosx = 1 cosx = ½

(2cosx – 1)(cosx – 1) = 0 cosx = ½  x = 60°, 300° cosx – 1 = 0  cosx = 1 x = 0°, 360° Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {0°, 60°, 300°, 360°}

Contoh 6: Himpunan penyelesaian sin4x + sin2x = 0, 0° x  360° Jawab: sin4x + sin2x = 0 2sin2xcos2x + sin2x = 0 sin2x(cos2x + 1) = 0 • sin2x = 0  2x = k.360° x = k.180°

sin2x(cos2x + 1) = 0 • sin2x = 0  2x = k.360° x = k.180° x = 0°, 180°, 360° • cos2x + 1 = 0  cos2x = -½ 2x = 120° + k.360° x =  60° + k. 180° x = 60° + k. 180° x = 60°, 240°

x = -60° + k. 180° x = 120°, 300° Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {60°, 120°, 180°, 240°, 300°, 360°}

SELAMAT BELAJAR