INTERPOLASI Rumus Polinom orde ke n adalah : ¦(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … + anxn Polinom Interpolasi Beda-Terbagi Newton; a. Interpolasi Linear, merupakan bentuk paling sederhana dengan menghubungkan dua titik data memakai garis lurus.

Contoh : Taksirlah logaritma natural dari 2 (ln 2) dengan memakai interpolasi linear antara ln 1 = 0 dan ln 6 = 1.7919595, selanjutnya ulangi untuk ln 1 dan ln 4 = 1.3862944 dimana nilai sejati ln 2 = 0.69314718. Penyelesaian :

Interpolasi Kuadrat, dipergunakan untuk tiga titik data, dimana : ¦2(x) = b0 + b1(x – x0) + b2 (x – x0) (x – x1) = b0+ b1x– b1x0+ b2x2+ b2x0x1-b2xx0- b2xx1

Atau dengan menggabungkan suku – sukunya didapat : ¦2(x) = a0 + a1x + a2x2 Dimana : a0 = b0 – b1x0 + b2x0x1 a1 = b1 – b2x0 – b2 x1 a2 = b2 Koefisien b0, b1 dan b2 didapat dari persamaan : b0 = ¦ (x0) untuk x = x0

Selesaikan ln 2 memakai polinom orde kedua terhadap tiga titik : x0 = 1  ¦(x0) = 0 ; x1 = 4  ¦(x1) = 1.3862944 dan x2 = 6  ¦(x2) = 1.7919595 dimana nilai sejati ln 2 = 0.69314718.

b0 = ¦ (x0) untuk x = x0 = 1, maka b0 = 0

Hasil diatas selanjutnya disubtitusi ke persamaan : ¦2(x) = b0 + b1(x – x0) + b2 (x – x0) (x – x1) Sehingga didapat : ¦2(x) = 0 + 0.46209813(2 – 1) – 0.051873116(2 – 1)(2 – 4) = 0.56584436 Besar galat relatif (%) adalah :

Bentuk Umum Polinom Interpolasi Newton, dipergunakan untuk mencocokkan polinom orde ke n sampai n + 1 titik data. Polinom orde ke-n adalah : ¦n (x) = b0 + b1(x – x0) + … + bn (x – x0) (x – x1) … (x – xn-1) memakai interpolasi linear dan kuadrat didapat koefisien b0, b1, … , bn sebagai berikut : b0 = ¦ (x0); b1 = ¦ [x1, x0]; b2 = ¦ [x2, x1, x0]; … bn = ¦ [xn, xn-1, … x1, x0];

Perhitungan fungsi dalam kurung siku adalah beda terbagi hingga, yaitu : - beda-terbagi hingga pertama : - beda-terbagi hingga kedua :

- beda-terbagi hingga ke-n : Hasil beda-terbagi di atas selanjutnya disubtitusi ke persamaan awal untuk menghasilkan polinom interpolasi, ¦n (x) = ¦ (x0) + (x – x0)¦ [x1, x0] + (x – x0)(x – x1)¦ [x2, x1, x0] + … + (x – x0) (x – x1) … (x – xn-1) ¦ [xn, xn-1, … x1, x0]

Secara grafis dapat dilukiskan sebagai berikut : Xi f (xi) pertama kedua ketiga 1 2 3 X0 X1 X2 X3 f (x0) f (x1) f (x2) f (x3) f [x1,x0] f [x2,x1] f [x3,x2] f [x2, x1, x0] f [x3, x2, x1] f [x3, x2, x1, x0] Selesaikan ln 2 = 0.69314718 memakai polinom interpolasi beda terbagi Newton, dimana : x0 = 1  ¦(x0) = 0 ; x1 = 4  ¦(x1) = 1.3862944; x2 = 4  ¦(x2) = 1.6094379; dan x3 = 6  ¦(x3) = 1.7919595

Penyelesaian Polinom orde ke-3 adalah : f3 (x) = b0 + b1(x – x0) + b2(x – x0)(x – x1) + b3 (x – x0)(x – x1)(x – x2) - beda-terbagi hingga pertama :

- beda-terbagi hingga kedua : - beda-terbagi hingga ketiga :

Hasil diatas selanjutnya disubtitusi ke persamaan : f3 (x) = b0 + b1(x – x0) + b2(x – x0)(x – x1) + b3 (x – x0)(x – x1)(x – x2) Sehingga didapat : ¦3(2) = 0 + 0.46209813(2 – 1) – 0.051873116(2 – 1)(2 – 4) + 0078655415(2 – 1)(2 – 4)(2 – 5) = 0 + 0.46209813(1) – 0.051873116(1)(-2) + 0.0078655415(1)(-2)(–3) = 0.613037869

Besar galat relatif (%) adalah : Polinom Interpolasi Lagrange, merupakan perumusan ulang dari polinom Newton tanpa perhitungan beda-terbagi yang dinyatakan sebagai berikut : dengan

Penyelesaian soal sebelumnya memakai polinom Lagrange, orde pertama dan kedua dimana : x0 = 1  ¦(x0) = 0 ; x1 = 4  ¦(x1) = 1.3862944; x2 = 4  ¦(x2) = 1.6094379; dan x3 = 6  ¦(x3) = 1.7919595 Polinom orde pertama :

Polinom orde kedua :

Polinom orde ketiga :

= 0.6287687