Fungsi Konveks dan Konkaf Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Pada fungsi tersebut solusi optimal yang unik dijamin keberadaannya Fungsi konveks dan konkaf memegang peranan penting pada pemrograman non linier Pada fungsi tersebut solusi optimal yang unik dijamin keberadaannya Fungsi tersebut mempunyai daerah asal yang merupakan himpunan konveks Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Definisi Himpunan Konveks Himpunan   R konveks jika x’, y”  , maka z= c x’ + (1-c) x’’  , c  [0, 1 ] Himpunan titik­titik di  , di mana sembarang pasangan titik di dalam himpunan  dihubungkan oleh garis yang seluruh titik pada garis tersebut juga di  x z y Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

(a) dan (b) himpunan konveks Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

• Sebuah fungsi f(x) konveks pada  jika x’, x”  : f(cx ‘+ (1-c) x”) < cf(x’) + (1-c)f(x”), c [0,1] f(x”) Y* f(x’) Y** =f(cx ‘+ (1-c) x”) Y** Y*= cf(x’) + (1-c)f(x”) Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

•Sebuah fungsi f(x) konveks pada  jika x’, x”  : f(cx’+ (1-c) x”) ≥ cf(x’) + (1-c)f(x”), c [0,1] Y** f(x”) Y* f(x’) Y** =f(cx ‘+ (1-c) x”) Y*= cf(x’) + (1-c)f(x”) Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Fungsi Konveks/Konkaf sehubungan dengan TEOREMA 1 Jika f(x) konveks pada  maka lokaI minimum adalah global minimum, Jika f(x) konkaf pada  maka lokaI maksimum adalah global maksimum. Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Sifat-sifat fungsi Konveks dan Konkaf berdasarkan Turunan Pertama dan Kedua Teorema 2: Suatu fungsi f(x) yang dapat diturunkan satu kali (f(x)  C1) adalah fungsi konveks pada , jika dan hanya jika: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Sifat-sifat fungsi Konveks dan Konkaf berdasarkan Turunan Pertama dan Kedua Teorema 2 (lanjut): Suatu fungsi f(x) yang dapat diturunkan satu kali (f(x)  C1) adalah fungsi konkaf pada , jika dan hanya jika: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Sifat-sifat fungsi Konveks dan Konkaf berdasarkan Turunan Pertama dan Kedua Teorema 3: Suatu fungsi f(x) yang dapat diturunkan dua kali (f(x)  C2) adalah fungsi konveks pada , jika dan hanya jika: Suatu fungsi f(x) yang dapat diturunkan dua kali (f(x)  C2) adalah fungsi konkaf pada , jika dan hanya jika: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Contoh: f(x) = ex dan f(x) = x2 adalah fungsi konveks Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

f(x) = 𝑥 1/2 adalahfungsikonkaf Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Sifat-sifat fungsi Konveks dan Konkaf untuk X Rn   Rn adalah himpunan konveks jikax’, x”   z = cx’ +(1 - c)x”   , c  [0,1] di mana x’ = (x’1 ,…,x’n) dan x” = (x”1 ,…,x”") Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Sifat-sifat fungsi Konveks dan Konkaf untuk X Rn TEOREMA: f :   R adalah fungsi konveks jika x, y   : f(cx’ +(1 - c)x” ) ≤cf(x’ )+(1 - c)f(x”) , c  [0,1] dan f(y) > f(x) + (y-x)' f(x) f :   R adalah fungsi konkaf jika x, y   : f(cx’ +(1 - c)x” ) ≥cf(x’ )+(1 - c)f(x”) , c  [0,1] dan f(y) ≤f(x) + (y-x)' f(x) Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

di mana: Adalah vektor gradien yang elemennya adalah turunan pertama secara parsial terhadap masing-masing xi Selain dari turunan pertama, sifat fungsi konveks dan konkaf dapat dianalisis dari turunan kedua fungsi - Matriks Hessian Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Matriks Hessian suatu fungsi Matriks Hessian dari fungsi f(x1, x2,…, xn) adalah n x n matriks yang elemen ke ij nya adalah: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

MatriksAberukurannxn adaiahmatrikspositif semi definitjika: TEOREMA: Jika 𝛻 2 𝑓(𝑥)bersifatpositif semi definit∀ 𝑥 ∈ maka f adalahfungsikonveksdalam Jika 𝛻 2 𝑓(𝑥)bersifatpositifdefinit∀ 𝑥 ∈makaf adalahfungsikonveksketatdalam Definisi: MatriksAberukurannxn adaiahmatrikspositif semi definitjika: Q(x) = x’Ax>0 x  0 Bersifatpositifdefinitjika: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

MatriksAberukurannxn adaiahmatriksnegatifsemi definitjika: TEOREMA: Jika 𝛻 2 𝑓(𝑥)bersifatnegatifsemi definit∀ 𝑥 ∈maka f adalahfungsikonkafdalam Jika 𝛻 2 𝑓(𝑥)bersifatnegatifdefinit∀ 𝑥 ∈makaf adalahfungsikonkafketatdalam Definisi: MatriksAberukurannxn adaiahmatriksnegatifsemi definitjika: Q(x) = - x’Ax>0 x  0 Bersifatnagatifdefinitjika: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Jika matriks berukuran n×n maka akan terdapat n minor utama Definisi: Minor utama ke-i dari matriks n×n adalah determinan dari matriks i×i yang diperoleh dari penghapusan n-i baris dan n-i kolom yang bersesuaian dari matriks tersebut Jika matriks berukuran n×n maka akan terdapat n minor utama Minor utama ke-1 adalah diagonal utama. Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Contoh perhitungan minor utama suatu matriks Pada matriks berukuran 2×2 berikut Dimiliki 2 minor utama Minor utama ke-1 adalah determinan dari matriks setelah penghapusan 2 – 1 =1 baris dan kolom (baris I & kolom I dan baris II & kolom II): Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Minor utama ke-2 adalah determinan dari penghapusan 2 – 2 = 0 baris dan kolom dari matriks tsb  determinan dari matriks itu sendiri det = (-2)(-4) – (-1)(-1) = 7 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

TEOREMA: Suatu matriks A dikatakan positif semi definit jika seluruh minor utama dari A bernilai >0 (non negatif) Suatu matriks A dikatakan positif definit jika seluruh minor utama dari A bemilai >0 (positif) Suatu matriks A dikatakan negatif semi definit jika minor utama ke-i dari A bernilai 0 atau bertanda (-1) i ,i = 1, ... ,n. Suatu matriks A dikatakan negatif definit jika seluruh minor utama dari A bertanda (-1) i ,i = 1, ... ,n Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Sifat Konveks dan Konkaf Berdasarkan Sifat Matriks Hessian Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Contoh penggunaan Matriks Hessian untuk Penentuan Sifat Konveks/Konkaf suatu fungsi Diberikan fungsi berikut: Matriks Hessian bagi fungsi tersebut adalah: = Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Matriks Hessian tersebut mempunyai 2 minor utama Minor utama ke-1 adalah: Untuk x1≥0 maka minor utama ke-1: 2 >0 dan 6x1 ≥0 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Minor utama ke-2 adalah determinan dari: Yang bernilai 12x1 – 4 Hanya akan bernilai ≥0 untuk x1 ≥ 1/3 Fungsi pada contoh ini mempunyai matriks Hessian yang bersifat positif (semi) definit pada rentang x1 ≥ 1/3 Fungsi bersifat konveks untuk x1 ≥ 1/3 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Latihan Coba kerjakan hal yang sama untuk fungsi-fungsi berikut ini: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc