DERET TAK HINGGA Yulvi zaika

BARISAN Barisan tak hingga {Sn} = S1, S2, S3, … , Sn, … adalah suatu fungsi dari n dimana daerah domainnya adalah himpunan bilangan bulat positif (bilangan asli). Bila fungsi : 1 1+𝑛 dimana n=1,2,3,… maka barisnya menjadi 1 2 , 1 3 , 1 4 …. Disebut baris tak hingga

CONTOH BARIS TAK HINGGA

BARIS KONVERGEN DAN DIVERGEN Jika suatu barisan memiliki limit, maka disebut barisan konvergen Baris S dikatakan konvergen lim 𝒏→∞ 𝑺 𝒏 =𝑺 Jika suatu barisan tidak memiliki limit, maka disebut barisan divergen Baris S dikatakan divergen lim 𝒏→∞ 𝑺 𝒏 =∞

DERET Deret adalah jumlah dari barisan Disebut deret tak hingga karena barisnya tak terbatas Jumlah parsial ke n dari deret (Sn) merupakan jumlah deret hingga suku ke n Sn = a1 + a2 +a3+……+an Deret dengan jumlah parsial

DERET KONVERGEN DAN DIVERGEN Jika suatu bilangan hingga sehingga deret dinyatakan konvergen dengan S adalah jumlahnya Jika maka deret dinyatakan divergen lim 𝒏→∞ 𝑺 𝒏 =𝑺 lim 𝒏→∞ 𝑺 𝒏 = tdk ada

DERET GEOMETRI TIDAK HINGGA

LANJUTAN….

DERET “P” DERET P ADALAH 1 + 1/2P + 1/3P + ….+1/NP Deret akan konvergen jika p > 1 dan deret akan divergen ke ~ jika p < 1 jika p =1 deret menjadi 1+1/2+1/3+1/4+…+1/n maka deret disebut sebagai deret harmonis dan akan divergen ke ~

DERET EKSPONEN Deret eksponen adalah 1+ r/1! +r2/2!+…+ r n-1/(n-1)! Dimana deret akan konvergen untuk setiap nilai r Jika r = 1 deret menjadi 1+1/1!+1/2!+1/3!+….+ 1/(n-1)!

UJI KONVERGEN DAN DIVERGEN DERET POSITIF 1. UJI INTEGRAL

2 . UJI BANDING UNTUK KONVERSI Suatu deret positif Σ Sn adalah konvergen jika setiap suku (mungkin sesudah sejumlah berhingga) adalah lebih kecil atau sama dengan suku yang bersesuaian dari suatu deret positif konvergen yang diketahui Σ cn 3. UJI BANDING DIVERGENSI Suatu deret positif Σ Sn adalah divergen jika setiap suku (mungkin sesudah sejumlah berhingga) adalah sama dengan atau lebih besar dari suku yang bersesuaian dari suatu deret positif divergen yang diketahui Σ dn 4. UJI RASIO Deret positif Σ Sn konvergen jika dan divergen jika Jika uji ini tidak dapat dipakai

CONTOH SOLUSI

SOAL 1/(2n)2 1/n2 (sin 1/n)

CONTOH 2 SOLUSI

SOAL 2

CONTOH 3

DERET FUNGSI Deret fungsi adalah deret yang suku sukunya adalah suatu fungsi yaitu : ∑ fn(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) +……. Himpunan nilai x utk deret ini konvergensi ke lim L(x) dinamakan daerah konvergensi deret fungsi, dan limit L(x) dinamakan jumlah deret fungsi Sn(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) +……. Utk x dlm daerah konvergensi L(x) =Lim Sn (x) Selisih L & Sn dinamakan sisa Rn (x) = L(x) – Sn(x) N ~

DERET PANGKAT/deret kuasa Adalah deret fungsi yang sukunya fungsi pangkat cnxn ∑ = c0 + c1x + c2x2 + …. Nilai x utk mana deret ini konvergen dpt diperoleh dgn test rasio umum. Deret pangkat juga dapat dlm bentuk (x-a) yaitu : co + c1(x-a)+c2(x-a)2+….

Daerah konvergensi Daerah konvergensi utk deret pangkat dlm (x-a) dpt diperoleh dgn : -R < x-a < R atau a-R < x < a+R Dimana Lim cn = R Titik x=a adalah pusat konvergensi yg radiusnya R. Dipinggir daerah konvergensi mk deret dpt konvergen atau divergen. Diluar daerah konvergen nilainya dalah Divergen. ~ Cn+1

THEORAMA TAYLOR DAN SUKU SISA LAGRANGE Jika suatu f(x) adalah sedemikian hingga : f(x),f’(x),f’’(x),…f(n-1)(x) adalah kontinu dlm selang {a,a+h} f(n)(x) ada dlm selang {a,a+h} maka f(a+h)=f(a)+hf’(a)+h2 f’’(a)+…h(n-1)f(n-1)(a)+Rn Dimana Rn = hn/n! f(n) (a+θh) : 0< θ <1 Bentuk sisa Rn ini disebut sisa suku lagrange 2! (n-1)!

DERET TAYLOR jika polinomial f(x) dibagi (x-a)2 maka sisa : Jika f(x) dpt dikembangkan (diekspansikan) menurut deret pangkat dari (x-a) maka : f(x)=f(a)+(x-a)f’(a)+(x-a)2 f’’(a)+(x-a)3f’’’(a)+(x-a)4f’’’’+… Jika Polinomial f(x) dibagi (x-a) maka sisa : S = f(a) jika polinomial f(x) dibagi (x-a)2 maka sisa : S = f(a)+(x-a) f’(a) Syarat perlu dan cukup bahwa a adalah akar rangkap k dari persm polinomial f(x) = 0 adalah: f(a)=f’(a)=f’’(a)=f’’’(a)=f(k-1)(a) = 0 dan fk(a) ≠ 0 2! 3! 4!

DERET MC LAURIN Shg dgn a = 0 maka: Merupakan deret khusus dari deret taylor dengan nilai a = 0, Maka : f(x)=f(a)+(x-a)f’(a)+(x-a)2 f’’(a)+(x-a)3f’’’(a)+(x-a)4f’’’’+.. Shg dgn a = 0 maka: f(x)=f(0)+(x-0) f’(0)+(x-0)2/2! f’’(0)+ (x-0)3 /3! f’’’(0)+.. =f(0)+xf’(0)+x2/2! f’’(0)+ x3/3! f’’’(0)+.. 2! 3! 4!

DERET BINOMIAL Merupakan deret Mclaurin yang khusus dimana untuk f(x) =(1+x)m, dgn m bil riil, shg : f(x) =(1+x)m : f(0) =1 f(x)’ = m(1+x)m-1 : f’(0) = m f(x)’’=m(m-1)(1+x)m-2 : f’’(0) = m(m-1) f(x)’’’=m(m-1)(m-2)(1+x)m-3 : f’’’(0) = m(m-1)(m-2) Maka : (1+x)m = 1+mx+m(m-1)/2! x2+m(m-1)(m-2)/3! x3+.. Dengan x < 1 disebut deret binomial