MATRIKS Oleh : Suci Pusporini (09320014) Risky Noorwiyadi (09320020) MATKOM 3-A Kapita selekta sma

Sub Bahasan → Macam – macam Matriks → Operasi Matriks → Definsi Matriks → Macam – macam Matriks → Operasi Matriks → Determinan, Adjoin dan Invers

MATRIKS merupakan susunan bilangan-bilangan yang berbentuk siku-empat terdiri dari baris dan kolom dengan diapit oleh sepasang kurung siku. Back

Macam – Macam Matriks Berdasarkan ordonya terdapat 5 jenis matriks Berdasarkan elemen-elemen penyusunnya terdapat 9 jenis matriks go go Back

Berdasar Ordonya Matriks Persegi Matriks Baris Matriks Kolom Matriks Tegak Matriks Datar next

a) Matriks persegi matriks yang berordo nxn atau banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. b) Matriks Baris matriks yang berordo 1xn atau hanya memiliki satu baris. c) Matriks Kolom matriks yang hanya memiliki satu kolom. d) Matriks Tegak matriks yang berordo mxn dengan m>n. e) Matriks Datar matriks yang berordo mxn dengan m<n back

Berdasar elemen penyusunnya Matriks Nol Matriks Diagonal Matriks Skalar Matriks Simetri Matriks Simetri Miring Matriks Identitas (satuan) Matriks Segitiga Atas Matriks Segitiga Bawah Matriks Transpose next

Matriks Nol matriks yang semua elemen penyusunnya adalah nol dan dinotasikan sebagai O. Matriks Diagonal matriks persegi yang semua elemen diatas dan dibawah diagonal utamanya adalah nol. Matriks Skalar matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya sama dan elemen-elemen selain diagonal utama adalah 0. Matriks Simetri matriks dimana susunan elemen-elemen antara matriks dengan transposenya sama. C=CT; maka C adalah matriks simetris Matriks Simetri Miring Matriks simetri yang elemen-elemennya selain elemen diagonal saling berlawanan Matriks Identitas (satuan) matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya adalah satu dan elemen yang lain adalah nol dan dinotasikan sebagai I. Matriks Segitiga Atas dikatakan segitiga atas jika aij = 0 untuk i>j dengan kata lain matriks persegi yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya adalah nol. Matriks Segitiga Bawah dikatakan segitiga bawah jika aij = 0 untuk i<j dengan kata lain matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya adalah nol. Matriks Transpose matriks yang diperoleh dari memindahkan elemen-elemen baris menjadi elemen pada kolom atau sebaliknya back

Operasi Matriks Operasi kesamaan Penjumlahan dan Pengurangan dua Matriks Perkalian matriks dengan skalar Perkalian Dua Matriks go go go go back

Operasi Kesamaan contoh : dua buah matriks atau lebih dikatakan sama jika dan hanya jika mempunyai ordo sama dan elemen-elemen yang seletak juga sama contoh : A = B = C = A = B, B ≠ C, A ≠ C back

Penjumlahan dan Pengurangan Dua Matriks Suatu dapat dijumlahkan apabila kedua matriks memiliki ordo yang sama. contoh : A= B= , maka A + B = + = = C elemen-elemen C diperoleh dari penjumlahan elemen-elemen A dan B yang seletak, yaitu cij = aij +bij go

Pengurangan Pengurangan matriks, jika A – B = C, maka elemen-elemen C diperoleh dari pengurangan elemen-elemen A dan B yang seletak, yaitu cij = aij-bij atau pengurangan dua matriks dapat dipandang sebagai penjumlahan matriks yaitu A + (-B) contoh : A = B = , maka A – B = - = back

Perkalian Matriks dengan Skalar Perkalian sebuah matriks dengan skalar, maka setiap unsur matriks tersebut terkalikan dengan skalar Contoh : A = , maka 2A = 2 = back

Perkalian Dua Matriks Dua buah matriks atau lebih (misal matriks AB) dapat dikalikan jika dan hanya jika jumlah kolom pada matriks A sama dengan jumlah baris pada matriks B A B AB mxn nxr = mxr Contoh: A = B = , A3x3 B3x1= = back

Determinan, Adjoin dan Invers Matriks Adjoin matriks Invers Matriks back

Determinan Determinan matriks adalah jumlah semua hasil perkalian elementer yang bertanda dari Matriks A dan dinyatakan dengan det(A) atau |A| (Howard Anton, 1991 : hal 67). Yang dimaksud dengan perkalian dengan elemen bertanda adalah perkalian elemen matriks dengan tanda +1 atau -1. Untuk mengetahui tanda +1 atau -1 dalam menentukan determinan suatu matriks yaitu dengan menggunakan permutasi sesuai besar peringkat matriks tersebut dan ada atau tidaknya invers pada kolom. Invers terjadi pada suatu permutasi jika terdapat bilangan yang lebih besar mendahului bilangan yang lebih kecil pada hasil permutasi. Jika banyak invers genap dan nol maka tanda +1 dan jika banyak invers ganjil maka tanda -1.

Jika matriks dalam bentuk maka determinannya adalah ad-bc Contoh : Matriks ordo 2x2 maka permutasi dari bilangan bulat 1 dan 2 diambil bersamaan adalah 2!=2 yaitu 1 2 dan 2 1(untuk kolom) sedangkan baris selalu berurutan. Maka determinan dari matriks ordo 2x2 adalah +1(a11.a22)-1(a12.a21) = a11.a22 – a12.a21 Jika matriks dalam bentuk maka determinannya adalah ad-bc

Determinan untuk 3x3 dapat dicari dengan cara : 1. Metode Sarrus 2 Determinan untuk 3x3 dapat dicari dengan cara : 1. Metode Sarrus 2. Metode Minor dan Kofaktor

1. Metode Sarrus. Misal matriks A = - - - + + + Maka |A| = aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi. Cara ini hanya berlaku pada matriks berordo 3x3. 2. Metode minor dan kofaktor. Minor suatu matriks A dilambangkan dengan Mij adalah matriks bagian dari A yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemennya pada baris ke-i dan elemen-elemen pada kolom ke-j.

Contoh : A= maka : M11 = = M12 = = M13 = = Kofaktor suatu elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A dilambangkan dengan α ij = (-1)i+j

Untuk mencari det(A) dengan metode minor dan kofaktor cukup mengambil satu ekspansi saja misal ekspansi baris ke-1 atau kolom ke-1. Contoh : H = Untuk mencari |H| dengan metode minor dan kofaktor adalah harus mencari determinan minornya terlebih dahulu yang diperoleh dari ekspansi baris ke-1, yaitu det(M11), det(M12), det(M13), maka, |M11| = (2x2)-(1x0) = 4 |M12| = (0x2)-(1x2) = -2 |M13| = (0x0)-(2x2) = -4 |H| = h11α11 + h12α12 + h13α13 = h11.(-1)1+1|M11| + h12.(-1)1+2|M12| + h13.(-1)1+3|M13| = (1.4) + (2.(-1.-2)) + (1.-4) = 4 + 4 – 4 = 4

Adjoin Matriks Adjoin Matriks adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut, dilambangkan dengan adj A = (αij)T Contoh : H = kita telah mengetahui sebelumnya α11= 4, α12= 2, α13= -4, α21= (-1)2+1 -4, α22= (-1)2+2 0 α23= (-1)2+3 , α31= (-1)3+1 = 0 α32= (-1)3+2 -1, α33= (-1)3+3 = 2 maka adj H = =

Invers Matriks Jika A dan B matriks persegi nxn sedemikian hingga AB=BA=I, B disebut invers A (B=A-1) dan A disebut invers B (A=B-1) sehingga berlaku A A-1= A-1A=I, I adalah identitas. Invers matriks A dirumuskan A-1 = .Adj(A) Contoh : matriks H= Kita ketahui sebelumnya |H| = 4, dan Adj(H)= Maka H-1= . = =