BENTUK KUADRAT

Definitnes Bentuk Kuadrat DAFTAR SLIDE Bentuk Kuadrat Umum Definitnes Bentuk Kuadrat Turunan Bentuk Kuadrat Mean dan Varian Bentuk Kuadrat 2

BENTUK KUADRAT Suatu bentuk kuadrat (quadratic form) adalah suatu fungsi dari k variabel x1,…,xk : Q(x) = x'Ax dimana: dan A adalah matriks simetris (non simetris) k × k A disebut matriks dari quadratic form. 3

BENTUK KUADRAT Karena quadratic forms hanya mengandung bentuk kuadrat dan crossproducts, maka dapat ditulis: Misalkan kita mempunyai: maka 4

Tulis dalam bentuk kuadrat x’Ax, dimana A adalah simetris. LATIHAN Tulis dalam bentuk kuadrat x’Ax, dimana A adalah simetris. 1. 2x2 – 8xy – 5y2 – 6yz –7z2 + xz 2. 2x2 – xz + 9y2 + 3yz 3. 2xy + 4xz + 6yz 5

DEFINITNES BENTUK KUADRAT Rules for determining if a k x k symmetric matrix A (or equivalently, its quadratic form x’Ax) is nonnegative definite (positive semidefinite) or positive definite: - A is a nonnegative definite (positive semidefinite) matrix iff x’Ax  0 untuk semua x kecuali x = 0 - A is a positive definite matrix iff x’Ax > 0 untuk semua x kecuali x = 0. 6

DEFINITNES BENTUK KUADRAT Teorema: Jika A memiliki diagonal element aii , i = 1,…,k - A is a nonnegative definite (positive semidefinite) matrix iff aii  0, i = 1,…,k - A is a positive definite matrix iff aii > 0, i = 1,…,k 7

DEFINITNES BENTUK KUADRAT Teorema: Jika A memiliki eigenvalues l1 , l2 , … , lk - A is a nonnegative definite (positive semidefinite) matrix iff li  0, i = 1,…,k - A is a positive definite matrix iff li > 0, i = 1,…,k 8

DEFINITNES BENTUK KUADRAT - A positive definite  optimum maximum, unique solution. A positive semidefinite  optimum minimum, many solution. - A negative definite  optimum minimum, unique solution. A negative semidefinite  optimum maximum, many solution. A indefinite  saddel point. 9

LATIHAN Selidiki apakah bentuk kuadratnya positive definite atau non negative definite: 10

TURUNAN BENTUK KUADRAT Jika u = f(x) merupakan fungsi dari variabel x1, x2, …, xp dalam vektor x = (x1, x2, …, xp)’ dan u/ x1, u/ x2,…, u/ xp, merupakan turunan parsial. Maka u/ x, didefinisikan menjadi: 11

TURUNAN BENTUK KUADRAT Jika u = a’x = x’a dengan a’ = (a1, a2, …, ap) adalah vektor konstanta, maka Jika u = x’Ax dengan A adalah matriks simetris konstanta, maka 12

Vektor random: vektor yang elemen-elemennya adalah variabel random. MEAN DAN VARIANS Vektor random: vektor yang elemen-elemennya adalah variabel random. Matriks random: matriks yang elemen-elemennya adalah variabel random. Nilai harapan matriks(vekor) random adalah matriks (vektor) yang terdiri dari nilai ekspektasi tiap-tiap elemennya. 13

MEAN DAN VARIANS Nilai harapan vektor random y berukuran p  1 didefinisikan sebagai vektor dari nilai harapan p variabel random y1, y2,…, yp dalam vektor y. 14

MEAN DAN VARIANS Matriks kovarians: 15

MEAN DAN VARIANS Jika a vektor konstanta p  1 dan y vektor random dengan mean  matriks kovarians , maka z = a’y : 16

MEAN DAN VARIANS Jika y vektor random, X matriks random, a dan b vektor konstanta, A dan B matriks konstanta, z = Ay dan w = By, maka : 17

LATIHAN Carilah vektor  dan matriks  dari tabel peluang variabel random berikut: x1\x2 1 -1 0,24 0,06 0,16 0,14 0,40 0,00 18

Cari vektor mean dan matrik kovarians untuk kombinasi linier: LATIHAN x’=[x1, x2] vektor acak dengan vektor mean ’=[1, 2] dan matrik varians-kovarians: Cari vektor mean dan matrik kovarians untuk kombinasi linier: z1 = x1 – x2 dan z2 = x1 + x2 19

Jika y berdistribusi Np(, ), maka MEAN DAN VARIANS Jika y vektor random dengan mean  dan matriks kovarians  dan jika A matriks konstanta yang simetris, maka. Jika y berdistribusi Np(, ), maka 20

pertanyaan