Teorema Pythagoras dan Perbandingan Trigonometri a. Teorema Pythagoras : B AB2 = AC2 + BC2 atau c2 = a2 + b2 c a A C b Apabila diketahui panjang dua sisi segitiga siku-siku, maka panjang sisi yang ketiga dapat dihitung dengan Teorema Pythagoras.

Contoh 1 : Hitunglah panjang sisi x yang belum diketahui, pada segitiga siku-siku berikut ini : Jawab : (a) x x2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169 x = 169 = 13 12 5 Jawab : 432 = x2 + 192 x2 = 432 - 192 = 1849 – 361 = 1488 x = 1488 = 38,57460  38,57 (b) x 43 19

b. Perbandingan Trigonometri : hipotenusa = sisi miring depan θ ) A C samping sisi depan sisi miring BC AB sin θ = = sisi samping sisi miring AC AB cos θ = = sisi depan samping BC AC tan θ = =

Hubungan perbandingan trigonometri segitiga siku-siku pada koordinat Cartesius ditunjukkan sbb. : sisi depan sisi miring y r y sin θ = = B(x,y) r sisi samping sisi miring x r y cos θ = = θ ) x sisi depan samping y x O x A tan θ = = Selain perbandingan trigonometri sinus, cosinus dan tangen ada perbandingan yang lain, yaitu secan, cosecan dan cotangen. sec kebalikan dari cos, csc kebalikan dari sin dan cot kebalikan dari tan. Sehingga didapat perbandingan :

1 csc θ 1 x/r r x sec θ = = = 1x r/x = 1 sin θ 1 y/r r y csc θ = = = 1x r/y = 1 tan θ 1 y/x x y cot θ = = = 1x x/y = y r r x sin θ = sec θ = x r r y cos θ = csc θ = y x x y tan θ = cot θ =

Dengan perbandingan trigonometri di atas, jika diketahui salah satu sisi dan sudut lancip suatu segitiga siku-siku, maka sisi yang lain dapat ditentukan. Contoh 2 : Seutas tali yang panjangnya 24 meter, salah satu ujungnya diikat pada ujung atas tiang vertikal yang tingginya h meter dan ujung yang lainnya ditancapkan pada tanah dan membentuk sudut 55º seperti terlihat pada gambar. Berapakah tinggi tiang sebenarnya? 24 m h=? 55º ) Jawab : h 24 Sin 55º = Nilai sin 55º diperoleh dari tabel atau kalkulator h = 24 x Sin 55º = 24 x 0,8192 = 19,6608  19,66 m

Hitunglah panjang p dan q dari gambar di samping. Contoh 3 : 75 cm ( 25 º Hitunglah panjang p dan q dari gambar di samping. p Jawab : q 75 p cos 25º = 75 cos 25º p = q 75 tan 25º = 75 0,9063 = q = 75 x tan 25º = 82,7533 = 75 x 0,4663  82,75 cm. = 34,9725  34,97 cm.

Hal lain yang dapat ditentukan dengan perbandingan trigonometri adalah besar sudut-sudut pada segitiga siku-siku jika diketahui panjang kedua sisinya. Contoh 4 : Tentukan besar sudut θ Jawab : (a) 22 31 tan θ = = 0,7096 22 θ ) θ = 35,36º = 35º 22’ (diperoleh dari invers tan) 31 Jawab : (b) 24 30 cos θ = = 0,8 θ) 30 24 θ = 36,87º = 36º 52’ 12” (diperoleh dari invers cos)

a) sin  DEA b) Panjang EB Contoh 5 : C Dalam gambar di samping, tan  DAE = 4/3 dan sin  CAB = 8/17 , hitunglah : a) sin  DEA b) Panjang EB 8 cm E A B 3 cm D Jawab : b) sin  CAB = BC/AC = 8/17 a). tan  DAE = ED/AD = 4/3 AB2 = AC2 - BC2 AE2 = AD2 + DE2 = 172 - 82 = 32 + 42 = 9 + 16 = 289 - 64 = 25 = 225 AE = 25 = 5 cm AB = 225 = 15 cm maka : maka : sin  DEA = AD/AE = 3/5 = 0,6 EB = AB – AE = 15 – 5 = 10 cm

LATIHAN 1 : 1. Dengan teorema Pythagoras tentukan nilai x (hasilnya bulatkan sampai dua desimal di belakang koma) : c).  a). x  28 cm x 23 cm e). 5x 10 cm 41m 30 m b). d). 2x  x 45 m 81cm  x

2.Jika diketahui salah satu sisi dan sudut lancip suatu segitiga siku-siku, tentukan panjang sisi yang dinyatakan dalam p , q atau r ( hasilnya bulatkan dua desimal dibelakang koma). a). c). e). 15 cm 48 cm p 50 º ) ( 30º q q ( 36º 15 cm 45 cm b). ( 67º d). 28 º ) r p 12 cm

3.Sebuah tangga yang panjangnya 2,5 m disandarkan miring ke dinding tembok dan membentuk sudut 72º dengan lantai, berapakah jarak antara ujung tangga bagian bawah dengan tembok ? (lihat gambar). ? 72º KUNCI JAWABAN LATIHAN 1. 1. a). x2 = 102 + 232 = 100 + 529 = 629 x =  629 = 25,08 cm. b). x2 = 452 - 302 = 2025- 900 = 1125 x =  1125 = 33.54 m. c). x2 = 282 + 282 = 784 + 784 = 1568 x =  1568 = 39.60 cm. d). x2 + x2 = 812 2 x2 = 6561 x =  3280,5 = 57.27 cm. e). (2x)2 + (5x)2 = 412 4x2 + 25x2 = 1681 29x2 = 1681 x = (1681/29) = 7.61 m. 2. a). sin 30º = p/15 p = 15 x sin 30º = 15 x 0,5 = 7,50 cm 3). sin 72º = h/2,5 h = 2,5 x sin 72º = 2,5 x 0,9510 = 2,38 m b). cos 67º = 15/r r = 15 / cos 67º = 15 / 0,3907 = 38.39 cm c). cos 36º = q/48 q = 48 x cos 36º = 48 x 0,8090 = 38,83 cm d). tan 28º = 12/p p = 12 / tan 28º = 12 / 0,5317 = 22.57 cm e). sin 50º = 45/q q = 45 / sin 50º = 45 / 0,7660 = 58,74 cm