TURUNAN DALAM RUANG BERDIMENSI n

FUNGSI DENGAN DUA PEUBAH ATAU LEBIH Daerah asal (Domain) yaitu himpunan seluruh titik (x,y) pada suatu bidang dimana aturan fungsi berlaku atau masuk akal dan menghasilkan suatu bilangan real. Daerah hasil (range) adalah himpunan dari nilai-nilai hasil substitusi domain ke fungsi.

TURUNAN PARSIAL Turunan Parsial adalah turunan dari suatu fungsi terhadap peubah-peubahnya. Contoh : f(x,y) = x2y + 3y3 Turunan parsial terhadap x fx = 2xy Turunan parsial terhadap y fy = x2 + 9y2

LIMIT DAN KEKONTINUAN Lambang Limit Definisi Umum Nilai f(x,y) mendekati bilangan L pada waktu (x,y) mendekati (a,b) Definisi Khusus Untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 yang berpadanan sedemikian hingga | f(x,y) – L | < ε dengan syarat 0 < | (x,y) – (a,b) | < δ

TEOREMA A (Andaikan n bil.bulat positif, k konstanta, f dan g fungsi)

TEOREMA B (Teorema Substitusi) Jika f suatu fungsi polinom atau fungsi rasional maka Syarat : penyebut ≠ 0 pada fungsi rasional TEOREMA C (Teorema Apit ) Andaikan ada f(x)  h(x)  g(x) untuk semua x dekat c.

KEKONTINUAN f (x,y) kontinu di titik (a,b) dengan syarat : f(x,y) ada Lim f(x,y) ada Lim f(x,y) = f(x,y)

INKREMEN DAN DIFFRENSIAL Inkremen (pertambahan) Pertambahan (Δz) dari suatu fungsi z = f(x,y) terhadap perubahan (x,y) dari (x1,y1) ke (x2,y2) ditentukan oleh : Contoh : z = 2x3 + xy – y3 Hitung pertambahan z bila (x,y) berubah dari (2,1) ke (2,03;0,98) Δz = f(x2,y2) - f(x1,y1)

DIFERENSIAL Definisi Jika z = f(x,y) maka diferensial dari z adalah dz = fx(x,y) dx + fy(x,y) dy Contoh : Tentukan dz dari : z = 3xy + 5xy2 z = (6x2-2y)2 + 4xy2

ATURAN RANTAI Andaikan x = x(t) dan y = y(t) dapat didiferensialkan di t dan andaikan z = f(x,y) dapat didiferensialkan di (x(t),y(t)), maka z = f(x(t)) dapat didiferensialkan di t dengan dz/dt ditentukan oleh :

TURUNAN BERARAH DAN GRADIEN Andaikan f dapat didiferensialkan di p. Maka f mempunyai turunan berarah di p pada arah vektor satuan u = u1i + u2j Duf(x,y)=u1fx(x,y) + u2fy(x,y)

VEKTOR GRADIEN FUNGSI Jika diketahui f(x,y) maka vektor gradien fungsi adalah = fx i + fy j Jika diketahui f(x,y,z) maka vektor gradien fungsi adalah = fx i + fy j + fz k

BIDANG SINGGUNG PERMUKAAN NILAI EKSTRIM FUNGSI DUA PEUBAH DEFINISI Andaikan Po suatu tuitik di S yaitu daerah asal f, Nilai Ekstrim [f(po)] adalah suatu nilai maksimum atau suatu nilai minimum dari f pada S

TEOREMA Andaikan f(x,y) mempunyai turunan parsial kedua kontinu dari (xo,yo) dan D = fxx fyy – (fxy)2 Maka berlaku : Jika D>0 dan fxx<0 maka f(xo,yo) nilai maksImum. Jika D>0 dan fxx>0 maka f(xo,yo) nilai minimum. Jika D<0 f(xo,yo) bukan nilai ekstrim (titik pelana). Jika D = 0 pengujian tidak memberi kesimpulan

MAKSIMUM DAN MINIMUM TERKENDALA PENGALI LAGRANGE TEOREMA Untuk memaksimumkan atau meminimumkan f(p) terhadap kendala g(p) = 0 selesaikan sistem persamaan :