ANALISIS GALAT (Error) Pertemuan 2 Matakuliah : METODE NUMERIK I Tahun : 2008 ANALISIS GALAT (Error) Pertemuan 2

Galat mutlak em= |a - â| Galat relatif er = (em/ â) x 100 % Galat atau ralat atau kesalahan (error) adalah selisih antara nilai sejati (sebenarnya) dengan nilai hampirannya Dalam metoda numerik, galat berarti selisih antara nilai hasil perhitungan analitik (nilai sejati = a) dengan nilai hasil Perhitungan numerik (nilai hampiran = â) Galat mutlak em= |a - â| Galat relatif er = (em/ â) x 100 % Bina Nusantara

Misalkan nilai sejati (a) = 10,45 dan nilai hampiran (â) Contoh: Misalkan nilai sejati (a) = 10,45 dan nilai hampiran (â) = 10,5, maka galat mutlaknya adalah: em = |a - â| = |10,45 – 10,5|= 0,01 Dengan galat mutlak kita tidak mengetahui seberapa dekat (teliti) hasil hampiran yang kita peroleh terhadap nilai sejatinya Perhitungan -1  em1 = |100,5 – 99,8| = 0,7 Perhitungan -2  em2 = |10,5 – 9,8| = 0,7 Dari dua perhitungan tsb, perhitungan mana yang lebih teliti? Bina Nusantara

er1 = (0,7/99,8) x 100 % = 0, 7014 %  ketelitian 99,2986 % Jawaban: er1 = (0,7/99,8) x 100 % = 0, 7014 %  ketelitian 99,2986 % er2 = (0,7/9,8) x 100 % = 7,14286 %  ketelitian 92,8571 % Perhitungan -1 lebih teliti. Bina Nusantara

Sumber Error/Galat numerik Galat pemotongan (trancation error) Galat pembulatan (round-off error) Galat pemotongan timbul akibat penggunaan rumus hampiran sebagai pengganti rumus eksak Misalnya Deret Taylor f(x) = f(x0) + f(’)(x0) (x-x0) + ½! f(”)(x0) (x-x0)2 + 1/3! f(3)(x0) (x-x0)3 + … + 1/n! f(n)(x0) (x-x0)n + Rn(x) Rn(x) = {1/(n+1)!} f(n+1)() x(n+1),  x0 <  < x Rn(x) adalah galat pemotongan Bina Nusantara

Contoh Cos x = 1 – 1/2! x2 + 1/4! x4 + … 1/(2n)! X(2n) + Rn(x) = 1 – ½! x2 +R1(x) = 1 – ½! x2 + ¼! x4 + R2(x) = 1 – ½! x2 + ¼! x4 – 1/6! x6 + R3(x) = 1 – ½! x2 + ¼! x4 – 1/6! x6 + ¼! x8 + R4(x) R1(x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -1 R2 (x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -2 R3 (x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -3 R4 (x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -4 Bina Nusantara

1. Kalkulator/komputer dalam menyajikan bilangan 1/3 = 0.3333… Galat pembulatan timbul akibat penggunaan alat hitung (misalnya, kalkulator, komputer) yang kemampuannya terbatas Contoh: 1. Kalkulator/komputer dalam menyajikan bilangan 1/3 = 0.3333… yang tidak pernah tepat 1/3. Untuk perhitungan tiga desimal, 1/3 = 0.333 Terdapat galat pembulatan = 0.000333… Untuk perhitungan 6 desimal, 1/3 = 0.333333 Terdapat galat pembulatan = 0.000000333… 2. Dalam sistim bilangan biner, (0.1)10 = (0.0001100110011001100110011…) 2  (0.1)10 Bina Nusantara

Penyajian bilangan Dalam komputasi numerik, pada umumnya bilangan riil disajikan dalam format “floating point” atau disebut “titik kambang” yang dinormalkan. Format floating point ternormalisasi: x =  m . p  tanda; m mantisa;  bilangan pokok; p eksponen m = 0.d1d2d3…dk   -1  m <1 Untuk sistim bilangan desimal, maka  = 10 0.1  m <1; 1  d1 < 9; 0  dk < 9 Untuk sistim bilangan biner, maka  = 2 0.5  m <1; d1=1 ; 0  dk  1 Bina Nusantara

1. Sistim bilangan desimal Contoh: 1. Sistim bilangan desimal 0.7392.104 sering juga ditulis 0.7392 E+04 (= 7392) - 0.3246.102 sering juga ditulis - 0.3246 E+02 (= - 32.46) 0.1627.10-3 sering juga ditulis 0.1627 E-03 (= 0.0001627) Bina Nusantara

Untuk komputer 32 bit word, 1 bit untuk tanda, 7 bit untuk 2. Sistim bilangan biner Untuk komputer 32 bit word, 1 bit untuk tanda, 7 bit untuk eksponen bertanda dan 24 bit untuk mantisa 1 1 Pangkat bertanda Mantisa Tanda 0 = + 1 = - X = 0.100000000000001000110011.2-13 = 0.5000335574.10-7 Bina Nusantara

Contoh: 1. a = 3,141592; â = 3,142 â mendekati a teliti sampai tiga desimal Bina Nusantara

Batas Penghampiran Bilangan â disebut mendekati a sampai pada d digit-digit yang signifikan bila d adalah bilangan positif terbesar yang memenuhi: Bina Nusantara

r = relative error d = significant digits Error Measures True value = Approximate value + Error  = Error = True value - Approximate value r = relative error d = significant digits Bina Nusantara

Example Pi ~ 3.1416 Better approximation x = 3.1415927. Find the error, relative error and the number of significant digits in the approximation. Bina Nusantara

Error Perkiraan A is the approximate error between the current approximate value and our previous approximate value Bina Nusantara

Contoh Estimate exp(x) for x = 0.5 by adding more and more terms to the sequence and computing the errors after adding each new term. Add terms until the estimate is valid to three significant digits. From a calculators x = 1.648721271 Bina Nusantara

Contoh Gunakan hanya termin I dari barisan Gunakan termin I, II dan seterusnya dari barisan # Termin Hasil  1 0.393 2 1.5 0.09 3 1.625 0.014 4 1.645833333 0.0017 5 1.648437500 0.00017 6 1.648697917 0.000014 Bina Nusantara

Deret Taylor Deret Taylor dapat digunakan untuk memperkirakan nilai suatu fungsi pada satu titik dalam bentuk nilai fungsi dan turunannya pada titik lainnya. Setiap fungsi kontinu dapat didekati dengan suatu polinomial. Teorema: Suatu fungsi yang mempunyai turunan sampai orde (n+1) dan kontinu dalam selang [a,b] dan memuat X0, maka f dapat diperluas (diekspansikan) dalam deret Taylor, yaitu: f(x) = f(x0) + f(’)(x0) (x-x0) + ½! f(”)(x0) (x-x0)2 + 1/3! f(3)(x0) (x-x0)3 + … + 1/n! f(n)(x0) (x-x0)n + Rn Rn =truncated error Bina Nusantara

f(x) = x = (x)1/2, dengan x = 1,01 dan x0 = 1 dan x – x0 = 0,01 Secara geometris, deret Taylor mempunyai arti: apabila harga suatu fungsi diketahui di x = x0, maka harga fungsi tersebut dapat dihitung disekitar x0 Contoh: 1 = 1; Tentukan 1,01=? Jawban: f(x) = x = (x)1/2, dengan x = 1,01 dan x0 = 1 dan x – x0 = 0,01 f(‘)(x) = ½ x-1/2,  f(‘)(1) = ½ = 0,5 f(“)(x) = -1/4 x-3/2, f(“)(1) = - ¼ = - 0,25 f(3)(x) = 3/8 x-5/2 , f(3)(1) = 3/8 = 0,375 f(4)(x) = -15/16 x-7/2 , f(4)(1) = -15/16 = - 0,9375 Bina Nusantara

= 1,0049875 (perhitungan tujuh desimal) Selanjutnya n 1 2 3 4 f(n)(1) 0,5 -0,25 0,375 - 0,9375 f(x) = f(x0) + f(’)(x0) (x-x0) + ½! f(”)(x0) (x-x0)2 + 1/3! f(3)(x0) (x-x0)3 + … + 1/n! f(n)(x0) (x-x0)n + … = 1 + (0,5)(0,01) + (0,5)(-0,25)(0,01)2 + (0,16667)(0,375)(0,01)3 + (0,04167)(-0,9375)(0,01)4 + … = 1,0049875 (perhitungan tujuh desimal) Bina Nusantara

PerambatanGalat Misalkan dua buah bilangan a1 dan a2 dengan nilai hampirannya masing-masing â1 dan â2 Maka: a1= â1  e1  er1= e1/ â1 a2 = â2  e2  er2 = e2/ â2 Perambatan galat dari a1 dan a2 pada: Penjumlahan A = a1  a2 = (â1  e1)  (â2  e2) = (â1  â2)  (e1 + e2) = (â1  â2)  eA eA = e1 + e2 , yaitu galat absolut dari penjumlahan () Bina Nusantara

eB = (â1 e2 + â2 e1 + e1 e2)  erB = er1+er2 2. Perkalian B = a1 . a2 = (â1  e1).(â2  e2) = (â1. â2)  (â1 e2 + â2 e1 + e1 e2) = (â1. â2)  eB eB = (â1 e2 + â2 e1 + e1 e2)  erB = er1+er2 3. Pembagian P= (â1/ â2)  eP  eP = Bina Nusantara

Bila b dinyatakan dalam 4 desimal, berapakah relatif errornya? Soal Latihan Diketahui b= 1.648721271, Bila b dinyatakan dalam 4 desimal, berapakah relatif errornya? 2. π=3,14159265358…, bila π dinyatakan dalam 6 desimal, hitunglah error relatif jika: a. dilakukan pemotongan tanpa pembulatan? b. dilakukan pemotongan dengan pembulatan? 3. Diketahui p=2,25 dan q=100 (nyatakan batas mutlak desimal sebagai error) a. Tentukan error mutlak dari p.q b. Tentukan error relatif dari p+q Catatan: Misalnya 10,2 adalah bilangan 1 desimal maka batas mutlaknya (0,1)/2 =0,05 Bina Nusantara