Gema Parasti Mindara 26 Februari 2013 Deret Taylor Dan Error Gema Parasti Mindara 26 Februari 2013

Definisi Deret Taylor Beberapa kasus metode numerik yang diturunkan didasarkan pada penghampiran fungsi kedalam bentuk polinom. Suatu fungsi yang bentuknya kompleks menjadi lebih sederhana bila menggunakan polinom, karena bentuk fungsi akan mudah dipahami karakteristiknya. Jika perhitungan dengan menggunakan fungsi yang sesungguhnya menghasilkan solusi sesungguhnya. Namun, jika perhitungan dengan menggunakan fungsi hampiran, maka solusinya merupakan solusi hampiran. Error pada solusi numerik dihubungkan dengan seberapa teliti polinom menghampiri fungsi sebenarnya. Tools yang digunakan untuk membuat polinom hampiran dengan menggunakan Deret Taylor.

Definisi Deret Taylor Jika f(x) dan turunannya f’, f’’, f’’’, … dalam selang [a,b], misalkan xo[a,b], maka nilai x disekitar xo dan x[a,b], maka f(x) dapat diekspansi dalam Deret Taylor . 𝑓 𝑥 =𝑓 𝑥 0 + 𝑥− 𝑥 0 1! 𝑓 ′ 𝑥 0 + 𝑥− 𝑥 0 2 2! 𝑓′ ′ 𝑥 0 +…+ 𝑥− 𝑥 0 𝑛 𝑛! 𝑓 𝑛 𝑥 0 +… Misal x–x o = h, maka : 𝑓 𝑥 =𝑓 𝑥 0 + ℎ 1! 𝑓 ′ 𝑥 0 + ℎ 2 2! 𝑓′ ′ 𝑥 0 + ℎ 3 3! 𝑓′′ ′ 𝑥 0 + …+ ℎ 𝑛 𝑛! 𝑓 𝑛 𝑥 0 +…

Contoh soal: Cari nilai f(5), jika diberikan f(3) = 120, f’(3) = 75, f’’(3)=33, f’’’(3)=3, dan semua tingkat tinggi dari f(x) pada x0= 3 adalah nol. Penyelesaian: x = 5; x0 = 3 h = x – x0 = 5 – 3 = 2 Deret Taylor: 𝑓 𝑥 =𝑓 𝑥 0 + 𝑓 ′ 𝑥 0 ℎ+ 𝑓 ′′ 𝑥 0 ℎ 2 2! + 𝑓 ′′′ 𝑥 0 ℎ 3 3! +…

Contoh soal: (2) Karena semua turunan tingkat tinggi = 0 𝑓 3+2 =𝑓 3 + 𝑓 ′ 3 2+ 𝑓 ′′ 3 2 2 2! + 𝑓 ′′′ 3 2 3 3! 𝑓 5 =120+75.2+33 2 2 2! +3 2 3 3! 𝑓 5 =120+150+66+4 𝑓 5 =340 Untuk dapat memperoleh f(5) secara eksak , maka kita hanya memerlukan niali dari fungsi dan semua turunannya pada beberapa titik, yaitu pada x0=3 pada kasus ini

Latihan soal: Tuliskan fungsi f(x) = sin(x) kedalam deret Taylor disekitar x0 = 1 Fungsi f(x) = ln (x) sekitar x0 = 2 Penyelesaian: Turunkan dahulu fungsi f(x) sampai beberapa orde Masukkan fungsi –fungsi tersebut kedalam deret Taylor

Deret Maclaurin Pada kasus khusus dimana x0 = 0, maka deret Taylor disebut dengan Deret MacLaurin. 𝑓 𝑥 =𝑓 0 + 𝑓 ′ 0 ℎ+ 𝑓 ′′ 0 ℎ 2 2! + 𝑓 ′′′ 0 ℎ 3 3! +… Contoh: Uraikan f(x) = ex kedalam Deret Mac Laurin.

Contoh soal (2): Karena, f(x)=ex, f’(x) = ex, f’’(x)=ex, …,fn(x)=ex Dan, fn(0) = e0 = 1 Maka Deret Mac Laurin : 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 = 𝑒 0 + 𝑥−0 1! 𝑒 0 + 𝑥−0 2 2! 𝑒 0 + 𝑥−0 3 3! +… Maka Diperoleh : 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 =1+𝑥+ 𝑥 2 2! + 𝑥 3 3! +…

Latihan Soal: Uraikan dalam Deret Mac Laurin: ln(x+1) cos(x)

Error pada Deret Taylor Suku-suku Deret Taylor bersifat tak hingga, sehingga Deret Taylor dipotong sampai orde tertentu. Pemotongan sampai pada orde ke-n dinamakan Deret Taylor Terpotong yang dinyatakan oleh: 𝑓 𝑥 =𝑓 𝑥 0 + 𝑥− 𝑥 0 1! 𝑓 ′ 𝑥 0 + 𝑥− 𝑥 0 2 2! 𝑓′ ′ 𝑥 0 +…+ 𝑥− 𝑥 0 𝑛 𝑛! 𝑓 𝑛 𝑥 0 + 𝑅 𝑛 (𝑥) Dalam hal ini : 𝑅 𝑛 𝑥 = 𝑥− 𝑥 0 𝑛+1 𝑛+1 ! 𝑓 𝑛+1 (𝑐) , 𝑥 0 <𝑐<𝑥 Yang disebut Error / galat / residu

Error pada Deret Taylor Dengan demikian, deret Taylor yang dipotong sampai suku orde ke-n dapat ditulis sebagai: 𝑓 𝑥 = 𝑃 𝑛 𝑥 + 𝑅 𝑛 𝑥 Yang dalam hal ini 𝑃 𝑛 𝑥 = 𝑘=1 𝑛 𝑥− 𝑥 0 𝑘 𝑘! 𝑓 𝑘 𝑥 0 Dan 𝑅 𝑛 𝑥 = 𝑥− 𝑥 0 𝑛+1 𝑛+1 ! 𝑓 𝑛+1 (𝑐) , 𝑥 0 <𝑐<𝑥

Contoh Soal: Uraikan f(x) = sin (x) dalam Deret Taylor yang terpotong sampai orde 4 disekitar x0 = 1 sin 𝑥 = sin 1 + (𝑥−1) 1! cos 1 − 𝑥−1 2 2! sin 1 − − 𝑥−1 3 3! 𝑐𝑜𝑠 1 + 𝑥−1 4 4! sin 1 + 𝑅 4 (𝑥) Dimana dalam hal ini: 𝑅 4 𝑥 = 𝑥−1 5 5! cos⁡(𝑐) , 1 c  x