6. PENCOCOKAN KURVA (CURVE FITTING)

6.1.2 Metode Newton Metode interpolasi Newton menggunakan polinom yang berasal dari metode interpolasi linier, kuadrat, atau derajad yang lebih tinggi, sesuai dengan kebutuhan. Polinom-polinom yang sudah dibentuk sebelumnya dapat digunakan untuk membangun polinom dengan derajad yang lebih tinggi yang disusun secara rekursif. Pada interpolasi langsung, seperti interpolasi linier, kuadrat atau yang lebih tinggi, polinom-polinom sebelumnya tidak dapat digunakan jika kita meningkatkan derajad polinom. Artinya kita harus menghitung ulang koeffisien-koefisien a0, a1, a2, …

Bentuk umum polinomial yang digunakan pada metode interpolasi selisih terbagi Newton adalah pn(x) = b0 + b1(x – x0) + b2(x – x0)(x – x1) + … + bn(x – x0)(x – x1)… (x – xn–1) (6.5) Untuk x = x0, didapat b0 = f (x0) (6.6) (6.7) (6.8)

Koefisien-koefisien b0, b1,…, dan bn adalah nilai selisih- terbagi dan selanjutnya pers. (6.6 s.d. 6.8) ditulis menjadi, (6.9) (6.10) (6.11) ⋮ (6.12)

Substitusi persamaan (6.9) s.d. (6.12) ke pers. (6.5) didapat, pn(x) = f (x0) + (x – x0) f [x1, x0] + (x – x0)(x – x1) f [x2, x1, x0] + … + (x – x0)(x – x1)… (x – xn–1) f [xn, xn –1,…, x0] (6.13) Persamaan (6.13) adalah polinom interpolasi selisih-terbagi Newton. f [x1, x0] adalah selisih-terbagi pertama f [x1, x1, x0] adalah selisih-terbagi ke dua f [xn, xn –1,…, x0] adalah selisih-terbagi ke n Karena interpolasi Newton disusun dari polinom selisih-terbagi, maka Metode Interpolasi Newton sering disebut Metode Interpolasi Selisih-Terbagi Newton (Newton’s Divided Difference Interpolation).

Salah satu cara untuk menghitung nilai selisih-terbagi adalah dengan menggunakan tabel berikut. xi f (xi) Selisih Terbagi-1 Selisih Terbagi-2 Selisih Terbagi-3 x0 f (x0) f [x1, x0] f [x2, x1] f [x3, x2] f [x2, x1, x0] f [x3, x2, x1] f [x3, x2, x1, x0] 1 x1 f (x1) 2 x2 f (x2) 3 x3 f (x3)

Dari tabel berikut tentukan nilai f (3,2) dengan Contoh 6.3 Dari tabel berikut tentukan nilai f (3,2) dengan menggunakan polinom derajat 1, 2, dan 3. xi f (xi) 3 1047,248 4 1162,174 6 1278,663 7,5 1396,578 Penyelesaian

p1(x) = f (x0) + (x – x0) f [x1, x0] i xi f (xi) f [x1, x0] f [x2, x1, x0] f [x3, x2, x1, x0] 3 1047,248 1 4 1162,174 2 6 1278,663 7,5 1396,578 114,926 -18,89383 58,2445 5,491677 5,8187143 78,61 p1(x) = f (x0) + (x – x0) f [x1, x0] p1(3,2) = 1047,248+114,9260(3,2 – 3) = 1070,233 p2(x) = f (x0) + (x – x0) f [x1, x0] + (x – x0)(x – x1) f [x2, x1, x0] p2(3,2) = 1047,248+114,9260 (3,2–3) –18,89383(3,2–3)(3,2–4) = 1073,256

i xi f (xi) f [x1, x0] f [x2, x1, x0] f [x3, x2, x1, x0] 114,926 3 1047,248 1 4 1162,174 2 6 1278,663 7,5 1396,578 114,926 -18,89383 58,2445 5,491677 5,8187143 78,61 p3(x) = f (x0) + (x – x0) f [x1, x0] + (x – x0)(x – x1) f [x2, x1, x0] + (x – x0)(x – x1)(x – x2) f [x3, x2, x1, x0] p3(3,2) = 1047,248+114,9260(3,2–3) –18,89383(3,2–3)(3,2–4) + 5,491677(3,2 – 3)(3,2 – 4)(3,2 – 6) = 1075,716

Galat Interpolasi Selisih-Terbagi Newton Galat sejati E(x) dihitung dengan rumus E(x) = f(x) – pn(x) (6.14) f(x) = fungsi sebenarnya. pn(x) = fungsi interpolasi polinomial 2. Galat rata-rata ER (x) dihitung dengan rumus (6.15) 3. Galat taksiran EA (x) dihitung dengan rumus EA (x) = (x – x0)(x – x1) … (x – xn) f [xn+1, xn, xn-1, … , x0] (6.16)

Galat sejati dan galat rata-rata hanya dapat dihitung jika fungsi sebenarnya diketahui. Jika tidak diketahui maka digunakan taksiran galat. Galat yang terjadi adalah minimum jika nilai titik pada data terletak di tengah atau mendekati tengah selang. Contoh 6.4 Dari tabel berikut tentukan nilai f (4,8) sedemikian rupa, sehingga galat taksiran interpolasi mencapai minimum. x 1 3 5 7 9 f (x) 27,8 39,4 42,0 38,6 34,2

Untuk polinom derajat 1 selang yang dipilih [3, 5] Penyelesaian x = 4,8 x 1 3 5 7 9 f (x) 27,8 39,4 42,0 38,6 34,2 Untuk polinom derajat 1 selang yang dipilih [3, 5] polinom derajat 2 selang yang dipilih [3, 7] polinom derajat 3 selang yang dipilih [1, 7]

Untuk polinom derajat 1 selang yang dipilih [3, 5] i xi f (xi) f [x1, x0] 3 39,4 1,3 1 5 42,0 p1(x) = f (x0) + (x – x0) f [x1, x0] = 39,4 + (4,8 – 3)(1,3) p1(4,8) = 41,74 Untuk polinom derajat 2 selang yang dipilih [3, 7] i xi f (xi) f [x1, x0] f [x2, x1, x0] 3 39,4 1,3 –1,7 –0,75 1 5 42,0 2 7 38,6 p2(x) = f (x0) + (x – x0) f [x1, x0] + (x – x0)(x – x1) f [x2, x1, x0] p2(4,8) = 39,4 + (4,8–3)(1,3) + (4,8 – 3)(4,8 – 5)(–0,75) = 42,01

Untuk polinom derajat 3 selang yang dipilih [1,7] i xi f (xi) f [x1, x0] f [x2, x1, x0] f [x3, x2, x1 , x0] 1 27,8 5,8 1,3 –1,7 –1,125 –0,75 0,0625 3 39,4 2 5 42,0 7 38,6 p3(x) = f (x0) + (x – x0) f [x1, x0] + (x – x0)(x – x1) f [x2, x1, x0] + (x – x0)(x – x1)(x – x2) f [x3, x2, x1, x0] p3(4,8) = 27,8 + (4,8–1)(5,8) + (4,8 – 1)(4,8 – 3)(–1,125) + (4,8 – 1)(4,8 – 3)(4,8 – 5)(0,0625) = 42,0595

EA (x) = (x – x0)(x – x1)(x – x2)(x – x3) f [x4, x3, x2, x1, x0] i xi Galat taksiran EA (x) = (x – x0)(x – x1)(x – x2)(x – x3) f [x4, x3, x2, x1, x0] i xi f (xi) f [x1, x0] f [x2, x1, x0] f [x3, x2, x1, x0] 1 27,8 5,8 1,3 –1,7 –2,2 –1,125 –0,75 0,975 0,0625 0,2875 3 39,4 2 5 42,0 7 38,6 4 9 34,2 EA (x) = (x–1)(x–3)(x–5)(x–7)(0,225) EA (4,8) = (3,8)(1,8)(–0,25)(–2,2) (0,225) = – 0,30787 f [x4, x3, x2, x1, x0] 0,225

Grafik hasil interpolasi derajat 3 vs Data