Matakuliah : J0182/ Matematika II Tahun : 2006 Langrange Pertemuan 7
Aplikasi Diferensial: Fungsi Majemuk Maksimisasi Contoh: Profit, Penerimaan, Jumlah Output Kendala: Sumberdaya Manusia
Minimisasi Contoh: Biaya, SDM Kendala: Kuantitas Output
Metode Lagrange Perhitungan nilai ekstrim sebuah fungsi yang menghadapi kendala (berupa fungsi lain yang dapat diselesaikan dengan metode lagrange) Diasumsikan fungsi yang akan dioptimumkan : Z = f(X,Y) Kendala : U = g(X,Y), = Multiplier Lagrange Fungsi Lagrange F(X,Y ,) = f(X,Y) - g(X,Y)
Fy(X,Y ,) = fy - gy = 0 Syarat Perlu: Syarat Cukup: Fx(X,Y ,) = fx - gx = 0 Fy(X,Y ,) = fy - gy = 0 Syarat Cukup: Fxx < 0 dan Fyy < 0 Maksimum Fxx > 0 dan Fyy > 0 Minimum
Contoh Kasus : Suatu perusahaan menghasilkan dua jenis mesin X dan Y. Biaya patungannya dinyatakan oleh fungsi : TC = X2 + 2Y2 – XY Untuk meminimisasi biaya berapa mesin dari setiap jenis harus dihasilkan bila total jumlah mesin yang harus dihasilkan adalah 8 unit.
TC = X2 + 2Y2 – XY Kendala : X + Y = 8 TC = X2 + 2Y2 – XY - ( X + Y – 8) dTC = 2X – Y - dX dTC = 4Y – X - dY dTC = - ( X + Y – 8 ) d Dari ketiga persamaan tersebut didapatkan : X=5, Y=3, dan =7
Pengujian derivatif kedua d2TC / dX2 = 2 d2TC / dy2 = 4 d2TC / dXdY= -1 Δ = ( 2 ) ( 4 ) – ( -1)2 = 7 Jadi TC akan minimum pada saat perusahaan memproduksi 5 unit mesin X dan 3 unit mesin Y Minimum