Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Medan Elektromagnetik. Sukiswo 1 Dasar-Dasar Kalkulus Vektor untuk Medan dan Gelombang EM Sukiswo

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Medan Elektromagnetik. Sukiswo 1 Dasar-Dasar Kalkulus Vektor untuk Medan dan Gelombang EM Sukiswo"— Transcript presentasi:

1

2 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 1 Dasar-Dasar Kalkulus Vektor untuk Medan dan Gelombang EM Sukiswo

3 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 2 Dasar-dasar Vektor Konvensi: Vektor ditulis dengan anak panah diatas atau cetak tebal Vektor biasanya fungsi dari koordinat spasial Konvensi: vektor satuan dilambangkan dengan topi diatasnya magnitude dari komponen vektor (bisa jadi fungsi dari x,y,z) ke arah sumbu-y

4 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 3 Penjumlahan vektor Pengurangan ekivalen dng penjumlahan A dng negatif dari B: D = A – B = A + (-B)

5 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 4 Vektor posisi dan vektor jarak Vektor R 12 adalah vektor dari P 1 ke P 2 dan jaraknya (panjang atau magnitude) adalah d:

6 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 5 Vektor posisi dan vektor jarak Contoh : Titik P (1,2,3) dan Q (2,-2,1) Vektor posisi OP = r P = a x + 2a y + 3 a z Vektor posisi OQ = r Q = 2a x - 2a y + a z Vektor jarak R PQ = r Q - r P = a x - 4a y - 2 a z

7 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 6 Perkalian titik (perkalian skalar) Selalu menghasilkan bilangan skalar A cos(  AB ) adalah komponen A sepanjang B. Disebut sebagai proyeksi dari A pada B. Dua vektor ortogonal memberikan hasil kali skalar nol: A·A=|A| 2 =A 2

8 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 7 Perkalian titik (perkalian skalar)

9 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 8 Perkalian silang (perkalian vektor) Aturan sekrup putar bisa dipakai: Pemutaran A ke B menggerakkan sekrup ke arah vektor hasil Perhatikan bahwa perkalian skalar menghasilkan vektor tegak lurus pada bidang yg mengandung dua vektor yg dikalikan! Ini berhubungan dengan Komponen tangensial dan normal. !!!!PENTING!!!

10 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 9 Perkalian silang (ljt) Pergerakan searah arah-putar-jarum jam memberikan hasil perkalian silang positif, sebaliknya, pergerakan ke-arah berlawanan arah-putar-jarum-jam memberikan hasil perkalian silang negatif.

11 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 10 Triple Products Hasil operasi lain yang penting: Scalar triple product Vector triple product (aturan bac-cab) Menghasilkan skalar Menghasilkan vektor

12 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 11 VECTOR REPRESENTATION 3 PRIMARY COORDINATE SYSTEMS: RECTANGULAR CYLINDRICAL SPHERICAL Choice is based on symmetry of problem Examples: Sheets - RECTANGULAR Wires/Cables - CYLINDRICAL Spheres - SPHERICAL

13 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 12 Sistem Koord. Kartesian x y z (x, y, z) Kuantitas diferensial: dV, dS and d !

14 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 13 Sistem Koord. Kartesian

15 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 14 Sistem Koord. Tabung atau Silindris z y x   ( , , z) Perhatikan kuantitas diferensial: dV, dS and d !

16 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 15 Sistem Koord. Tabung atau Silindris

17 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 16 Sistem Koordinat Bola z y x r   (r, ,  nb : harga  adalah 0 sampai  , bukan 0 sampai 2  Lihat lagi kuantitas diferensial: dV, dS and d !

18 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 17 Sistem Koordinat Bola

19 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 18 Transformasi Koordinat Kadang kala kita perlu melakukan transformasi antar sistem koordinat: mis. dlm teori antena kita perlu Transformasi dari sistem kartesian ke bola : Transformasi lain dapat dilihat pada buku acuan

20 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 19 Soal2 1.Tiga titik A(2,-3,1); B(-4,-2,6); C(1,5,-3) Cari : –Vektor dari A ke C –Vektor satuan dari B ke A –Jarak dari B ke C -a x +8a y -4a z 0,762a x -0,127a y -0,635a z 12,45

21 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 20 Soal2 2. Sebuah medan vektor dinyatakan oleh W=4x 2 y a x – (7x+2z) a y + (4xy+2z 2 ) a z Cari : –Besar medan di P(2,-3,4) –Vektor satuan yg menyatakan arah medan di P –Titik mana pd sumbu z, besar W mrpk vektor satuan 53,4 -0,899ax-0,412ay+0,150az +- 0,455

22 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 21 Soal2 3.Diketahui F = 2a x -5a y -4a z ; G = 3a x +5a y +2a z Cari : –F.G –Sudut antara F dan G –Panjang proyeksi F pada G –Proyeksi vektor F pada G -27,0 130,8 o -4,38 -2,13a x -3,55a y -1,42a z

23 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 22 Soal2 4.Diketahui F = -45a x +70a y +25a z ; G = 4a x -3a y +2a z Cari : –F x G –a x (a y x F) –(a y x a x ) x F –Vektor satuan yang tegak lurus F pada G 215ax+190ay-145az -45ay -70ax-45ay +- (0,669a x +0,591a y -0,451a z )

24 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 23 Soal2 5.Diketahui P(ρ=6,φ=125 0, z=-3) dan Q(x=3,y=-1,z=4) Cari : –Jarak dari P ke titik asal –Q tegak lurus pada sumbu z –P ke Q 6,71 3,16 11,20

25 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 24 Soal2 6. a. Nyatakan T=240+z 2 -2xy dalam koordinat tabung b. Cari kerapatan di titik P(-2,-5,1) jika kerapatannya 240+z 2 –ρ 2 sin 2φ 8,66

26 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 25 Soal2 7.a. Nyatakan medan vektor W= (x-y)a y dalam koordinat tabung b. Cari medan F dalam koord cartesian jika F= ρ cosφ a ρ ρ(cos φ- sin φ)(sin φ a ρ +cos φ a φ

27 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 26 Operator Del = 

28 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 27 Grad, Div dan Curl

29 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 28 Gradien dari medan skalar Jika  (x,y,z) fungsi riil dari 3 variabel, maka fungsi ini disebut medan skalar. Gradien dari , dinyatakan sbg grad  atau  Adalah vektor menurut aturan berikut: dibaca “del phi” Gradien adalah ukuran laju perubahan maksimum dari permu- kaan yang digambarkan oleh  (x,y,z) dan perubahan laju ini muncul pada arah tertentu. Catat bahwa operator gradien mengubah fungsi skalar menjadi fungsi vektor.

30 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 29 Contoh gradien Evaluasi gradien pada titik P (2,-1,0), menghasilkan Jika kita melihat dari permukaan ke berbagai arah, akan teramati bahwa perubahan maksimum dari permukaan muncul pada arah yg diberikan vektor tsb diatas. Laju maksimumnya adalah turunan berarah

31 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 30 Rapat fluks Operator divergensi dinyatakan sbg  dan selalu beroperasi pada vektor. Tidak dibaca sbg “del” yg beroperasi titik thd vektor ! Divergensi berhubungan dengan rapat fluks dari sumber Arah medan searah dengan anak panah (jadi suatu vektor). Kekuatan medan sebanding dengan kerapatan anak panah (bukan panjangnya). medan seragam medan tak seragam

32 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 31 Divergensi Divergensi pada suatu titik adalah fluks keluar netto per satuan volume pada (sepanjang) permukaan tertutup. Pada pembahasan Mendatang akan diberi-kan tafsiran EM-nya: Secara matematika: Perhatikan bahwa operator divergensi selalu beroperasi pada (fungsi/medan) vektor untuk menghasilkan skalar.

33 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 32 Contoh divergensi Di titik (2,-2,0) Karena nilai divergensi >0 berarti ada fluks netto keluar dan mengindikasikan adanya sumber (source). Jika nilainya <0, ini menandakan fluks netto kedalam volume dan menandakan adanya sink.

34 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 33 Curl (Rotasi=Pusaran) Curl dari medan vektor berhubungan dengan rotasi dari medan vektor tsb. Dilihat dari sudut pandang lain, rotasi dapat dipakai sebagai ukuran ketidakseragaman medan, semakin tidak seragam suatu medan, semakin besar pula nilai pusarannya. Medan B seragam, curl-nya nol. medan tak-seragam, Curl-nya tidak nol.

35 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 34 Perhitungan curl

36 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 35 Operator penting lainnya Dua rumus ini sangat bermanfaat pd pembaha- san mendatang. Operator Laplacian

37 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 36 Operator Laplacian (1) Ingat: Sekarang Untuk praktisnya ditulis: baca “del kuadrat”

38 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 37 Laplacian (2) Laplacian bisa juga ber-operasi pada vektor Jika Maka, Dapat juga ditunjukkan bahwa: “curl curl dari E”

39 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 38 Ikhtisar: Grad, Div, dan Curl

40 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 39 Teorema integral Hubungan ini berguna untuk mengubah integral volume menjadi integral permukaan. Yang ini berguna untuk mengubah integral permukaan menjadi integral garis. permukaan atau lintasan tertutup

41 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 40 Integral garis/permukaan Contoh: teorema Stoke Hitung integral ini ke-seluruh segmen permukaan. Hitung integral ini sepanjang garis-batas dari segmen.

42 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 41 Permasalahan nilai batas Karena PDE (partial differential equation-persm. diff. parsial) yg menggambarkan medan EM adalah fungsi dari ruang (dlm bentuk harmonik-waktu), solusi unik hanya bisa diperoleh jika diberikan sekumpulansyarat batas. Secara umum ada tiga jenis syarat batas: Syarat batas jenis Dirichlet Syarat batas jenis Neumann Syarat batas jenis campuran (kombinasi dari Dirichlet & Neumann)

43 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 42 Syarat batas jenis Dirichlet S Daerah S dibatasi oleh kurva. Misalkan kita ingin menentukan suatu kuantitas (variabel yg kita selesaikan, mis. V) dalam daerah S, sedemikian hingga V = g pada. Persyaratan V = g pada disebut sbg syarat batas Dirichlet.

44 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 43 Syarat batas jenis Neumann Untuk kasus dimana turunan normal dari suatu kuantitas diberikan pada batasnya, mis, pada. S Ini dikenal sebagai syarat batas Neumann.

45 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 44 Contoh (1) batas bidang (planar) HiHi EiEi ErEr HrHr x rr ii tt HtHt EtEt 2222 1111 Kita perlu pernyataan mengenai medan normal dan tangensial pada antarmuka, yaitu syarat batas. Hal ini memungkinkan kita menerus- kan solusi dari satu sisi batas (y>0) ke yang lainnya (y<0). y incident reflected transmitted

46 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 45 Contoh (2): bumbung gelombang X Y a b ,  Perlu E z =0 pada semua dinding  syarat batas Dirichlet perlu pada dinding.  syarat batas Neumann

47 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 46 Syarat batas dalam EM E t1 n 111111 222222 E t2 E tangensial kontinyu n 111111 222222 H t2 H t1 n × (H 1 -H 2 )=J s n 111111 222222 B n1 B n2 B normal kontinyu n 111111 222222 D 2n D 1n n·(D 1 -D 2 )=  s Ekivalen

48 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 47 Lihat contoh berikut E t1 n 111111 222222 E t2 E tangensial kontinyu Hal ini menyatakan bahwa medan (listrik) tangensial dalam daerah-1 adalah sama dengan medan (listrik) tangensial pada daerah-2. Ini tdk menyatakan apapun mengenai kompenen lain dr E. Jika kita punya: Maka, secara otomatis memilih komponen tangensial!

49 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 48 Dan satu contoh lagi n 111111 222222 H t2 H t1 n × (H 1 -H 2 ) = J s Hal ini menyatakan bahwa medan magnetik pada kedua sisi tidak kontinyu oleh adanya arus. Hal ini umum terjadi. Jika medium kedua konduktif sempurna, σ 2 →∞. Maka, sama sekali tidak ada medan didalam daerah-2, dan persamaan menjadi: Ini berarti bahwa komponen tangensial dari medan H adalah arus permukaan. “permukaan”

50 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 49 Contoh: z 00 dd E i atau E r EtEt Kini pada batas kita terapkan syarat batas yg menyatakan bahwa (pada z=0), medan tangensial E dan H kontinyu.


Download ppt "Medan Elektromagnetik. Sukiswo 1 Dasar-Dasar Kalkulus Vektor untuk Medan dan Gelombang EM Sukiswo"

Presentasi serupa


Iklan oleh Google