Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Analisa Sistem Waktu Diskrit Yusuf Bilfaqih Jurusan Teknik Elektro.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Analisa Sistem Waktu Diskrit Yusuf Bilfaqih Jurusan Teknik Elektro."— Transcript presentasi:

1 Analisa Sistem Waktu Diskrit Yusuf Bilfaqih Jurusan Teknik Elektro

2 Analisa Sistem Waktu Diskrit2 Obyektif •Mengetahui dan memahami representasi sistem waktu diskrit. •Menggunakan transformasi Z untuk analisa sistem waktu diskrit •Merepresentasikan sistem waktu diskrit dalam bentuk fungsi alih domain-z •Memahami hubungan lokasi pole-zero dengan respons sistem •Memahami efek sampling •Memahami peristiwa aliasing •Menganalisa kestabilan sistem waktu diskrit

3 Representasi Sistem

4 Analisa Sistem Waktu Diskrit4 Representasi Sistem •Persamaan Beda •Persamaan State-Space Diskrit x[n+1] = Ax[n] +Bu[n] y[n] = Cx[n] + Du[n] untuk sistem SISO, A adalah matrik N x N, B adalah vektor kolom N x 1, C adalah vektor baris 1 x N, dan D adalah skalar. •Diagram Simulasi

5 Analisa Sistem Waktu Diskrit5 Persamaan Beda: Definisi Perhatikan sistem waktu diskrit berikut: •Sinyal input, u, merupakan sekuen, •Sedangkan sinyal output, y, merupakan sekuen, •Apabila sistem kausal, hubungan input-output dapat dinyatakan sebagai, •Fungsi f(.) merupakan model matematis sistem P uy

6 Analisa Sistem Waktu Diskrit6 Persamaan Beda: Definisi Kita mengasumsikan bahwa: •Sistem adalah linier dan time-invariant •Output pada saat k hanya bergantung pada sejumlah berhingga input dan output sebelumnya. Maka kita dapat menuliskan model ini dalam bentuk “Persamaan Beda,” Bila diberikan sekuen input, u, dan kondisi awal, kita dapat menyelesaikan persamaan beda ini untuk menghitung sekuen output, y.

7 Transformasi Z

8 Analisa Sistem Waktu Diskrit8 Transformasi Z: Definisi •Transformasi Z dari sebuah sekuen y, dinotasikan dengan: yang didefinisikan oleh, dimana z merupakan bilangan kompleks. •Persamaan ini hanya konvergen untuk suatu daerah pada bidang kompleks, •Daerah pada bidang kompleks ini disebut sebagai “Region of Convergence.”

9 Analisa Sistem Waktu Diskrit9 Transformasi Z: Contoh Sebagai contoh, perhatikan sekuen, Plot sinyal tersebut (untuk a = 0.25 dan T = 1) diperlihatkan di bawah ini.

10 Analisa Sistem Waktu Diskrit10 Transformasi Z: Contoh •Dari definisi Transformasi Z, ingat • untuk untuk •Ingat bahwa Region Of Convergence merupakan hal kritis yang diperlukan untuk merekonstruksi sekuen, y[k], dari transformasi Z-nya, Y[z].

11 Analisa Sistem Waktu Diskrit11 Transformasi Z: ROC Perhatikan kedua contoh berikut ini.

12 Analisa Sistem Waktu Diskrit12 Transformasi Z: ROC Re z Im z 1/2

13 Analisa Sistem Waktu Diskrit13 Transformasi Z: Sifat-Sifat •Linieritas Jika Maka •Pergeseran Waktu

14 Analisa Sistem Waktu Diskrit14 Transformasi Z: Sifat-Sifat •Teorema Nilai Awal •Teorema Nilai Akhir dengan asumsi x[  ] ada •Konvolusi y[n] = h[n] * x[n]  Y[z] = H[z] X[z]

15 Fungsi Alih

16 Analisa Sistem Waktu Diskrit16 Fungsi Alih: Definisi •Perhatikan sistem waktu diskrit, •Fungsi alih adalah •Persamaan beda untuk sistem ini, U[z]U[z]Y[z]Y[z] P[z]

17 Analisa Sistem Waktu Diskrit17 Fungsi Alih: Definisi Kalikan kedua sisi dengan dan jumlahkan untuk semua k,

18 Analisa Sistem Waktu Diskrit18 Fungsi Alih: Definisi

19 Analisa Sistem Waktu Diskrit19 Fungsi Alih: Pole-Zero •P[z] merupakan perbandingan polinomial dalam. •Jika, kita dapat mengalikan dengan untuk memperoleh, •Akar dari polinomial pembilang, b[z] = 0, disebut sbg “Zero”. •Akar dari polinomial penyebut, a[z] = 0, disebut sbg “Pole”. •Polinomial penyebut disebut juga Persamaan Karakteristik.

20 Pole-Zero

21 Analisa Sistem Waktu Diskrit21 Pole-Zero: Respons Sistem Orde I •Perhatikan sistem orde pertama, •Misalkan diberi input unit pulsa, u[k], •Output sistem dalam domain-z, Y[z], diberikan oleh,

22 Analisa Sistem Waktu Diskrit22 Pole-Zero: Respons Sistem Orde I •Langkah pertama adalah menghitung U[z]. •Dari definisi transformasi Z dapat dengan mudah kita peroleh, •Karena itu, •Selanjutnya, untuk menghitung y[k], kita harus mendefinisikan transformasi Z invers dari Y[z]. Dengan kata lain,

23 Analisa Sistem Waktu Diskrit23 Pole-Zero: Respons Sistem Orde I •Terlihat bahwa b 1 berlaku sebagai penyekala amplitudo. Sedangkan respons berbeda secara dramatis bergantung pada nilai a 1. •Bagaimana karakteristik respons untuk nilai a 1 yang berbeda diillustrasikan pada gambar-gambar berikut.

24 Analisa Sistem Waktu Diskrit24 Pole-Zero: Respons Sistem Orde I Untuk

25 Analisa Sistem Waktu Diskrit25 Pole-Zero: Respons Sistem Orde I Untuk

26 Analisa Sistem Waktu Diskrit26 Pole-Zero: Respons Sistem Orde I Untuk

27 Analisa Sistem Waktu Diskrit27 Pole-Zero: Respons Sistem Orde I Untuk

28 Analisa Sistem Waktu Diskrit28 Pole-Zero: Respons Sistem Orde I Dapat kita perhatikan bahwa, •Untuk, respons turun nilainya menuju nol. •Untuk, respons membesar nilainya menuju tak berhingga. •Jika a 1 bernilai negatif respons berbolak-balik tanda.

29 Analisa Sistem Waktu Diskrit29 Pole-Zero: Respons Sistem Orde II Perhatikan sistem orde kedua berikut, dimana N[z -1 ] merupakan polinomial dgn suku z -1. Ekspansi pecahan parsial persamaan tersebut adalah dalam bentuk, •Sedangkan

30 Analisa Sistem Waktu Diskrit30 Pole-Zero: Respons Sistem Orde II Selanjutnya kita hitung respons pulsa sistem,

31 Analisa Sistem Waktu Diskrit31 Pole-Zero: Respons Sistem Orde II •Dapat kita lihat bahwa respons sistem naik atau turun bergantung pada r, jarak pole terhadap titik asal. Apabila r 1 maka respons akan naik. •Kita juga dapat melihat bahwa komponen sin dan cos pada respons y[k] menunjukkan bahwa respon berosilasi, dan , sudut pole, menentukan frekuensi dari respons.

32 Analisa Sistem Waktu Diskrit32 Pole-Zero: Lokasi pada Bidang-z Perhatikan pola pole-zero pada bidang-z yang diillustrasikan grafik berikut.

33 Analisa Sistem Waktu Diskrit33 Pole-Zero: Lokasi pada Bidang-z Daerah pada bidang-z dimana suatu sinyal naik (unbounded) atau menurun (bounded) diillustrasikan pada gambar berikut.

34 Sampling

35 Analisa Sistem Waktu Diskrit35 Sampling: Sinyal Eksponensial •Pada bagian ini kita akan melihat relasi antara pole sinyal pada bidang-s dan sinyal tersampel pada bidang-z. •Perhatikan sinyal, •Transformasi Laplace dari y(t) adalah, •Pole terletak di.

36 Analisa Sistem Waktu Diskrit36 Sampling: Sinyal Eksponensial •Sekarang kita sampling sinyal ini dengan periode T, •Transformasi Z dari y[k], •Pole terletak di.

37 Analisa Sistem Waktu Diskrit37 Sampling: Sinusoidal Teredam •Sekarang perhatikan sinyal sinusoidal teredam, •Dalam domain-s kita dapatkan, •yang mempunyai pole-pole di.

38 Analisa Sistem Waktu Diskrit38 Sampling: Sinusoidal Teredam •Sampling y(t) dengan periode T diperoleh, dan transformasi Z-nya, •Berikut akan kita lihat dimana letak pole dari Y[z].

39 Analisa Sistem Waktu Diskrit39 Sampling: Sinusoidal Teredam •Pole-pole ini diberikan oleh akar-akar polinomial,

40 Analisa Sistem Waktu Diskrit40 Sampling: Sinusoidal Teredam •Lokasi pole-zero dalam domain-z untuk sinyal tersebut diperlihatkan di bawah ini

41 Analisa Sistem Waktu Diskrit41 Sampling: Relasi Pole Bid-s & Bid-z •Kita amati, •Seperti terlihat dari contoh-contoh tersebut di atas, lokasi pole dalam domain-z dari sinyal tersampel direlasikan dengan lokasi pole dalam domain-s oleh persamaan berikut,

42 Analisa Sistem Waktu Diskrit42 Sampling: Pemetaan Pole •Pemetaan Lokasi pole akibat sampling

43 Aliasing

44 Analisa Sistem Waktu Diskrit44 Aliasing •Kita telah mengetahui bahwa sinyal dengan frekuensi 0 sampai  /T radians/detik dipetakan dalam bidang lingkar satuan (unit- disc) oleh operasi sampling. Bagaimana dengan sinyal frekuensi tinggi ?

45 Analisa Sistem Waktu Diskrit45 Aliasing: Sinyal Sinusoidal •Perhatikan sinyal sinusoidal, •Dalam domain-s adalah, •Sinyal ini mempunyai pole-pole di.

46 Analisa Sistem Waktu Diskrit46 Aliasing: Sinyal Sinusoidal •Sekarang kita sampling y(t) pada periode T. •Dan •Pole-pole dari Y[z] terletak di.

47 Analisa Sistem Waktu Diskrit47 Aliasing: Sinyal Sinusoidal •Sekarang perhatikan kasus dimana. Ini terjadi ketika kita memilih T, •Ekivalennya, dalam bentuk frekuensi sampling, perlu kita perhatikan kasus

48 Analisa Sistem Waktu Diskrit48 Aliasing: Sinyal Sinusoidal •Dalam kasus ini, sehingga pole-pole terletak pada sudut lebih dari 180 derajat sekitar lingkaran satuan.

49 Analisa Sistem Waktu Diskrit49 Aliasing: Frekuensi Alias •Kita mempunyai, berarti bahwa, dan •Hal yang penting untuk dicatat bahwa terletak dalam range 0 sampai 180 derajat. Dengan kata lain pola dari pole identik dengan sinusoidal frekuensi rendah (frekuensi alias),, dimana, atau •Ingat, bahwa adalah frekuensi sampling (dalam radians/detik).

50 Analisa Sistem Waktu Diskrit50 Aliasing: Frekuensi Nyquist •Sebagai contoh, misalkan kita mempunyai sinyal sinusoidal 60 Hz. Jika frekuensi sampling 100 Hz, kemudian, dalam domain-z, sinyal ini sulit dibedakan dari sinyal dengan frekuensi alias, •Apabila frekuensi sampling 119 Hz, maka frekuensi aliasnya, •Apa yang perlu diperhatikan disini adalah bahwa bidang lingkar satuan hanya dapat merepresentasikan sinyal dengan frekuensi maksimal sampai setengah dari frekuensi sampling. Frekuensi ini (  /T radians/detik), disebut sebagai frekuensi “Nyquist.”

51 Analisa Sistem Waktu Diskrit51 Aliasing: Filter Anti-Aliasing •Untuk menghindari aliasing, kita harus menyaring sinyal menggunakan LPF sebelum men-sampling, hal ini untuk memastikan bahwa sinyal tersebut tidak mengandung komponen frekuensi lebih besar dari frekuensi Nyquist. •Filter yang digunakan untuk tujuan tersebut dikenal sebagai “anti-aliasing filter.”

52 Stabilitas

53 Analisa Sistem Waktu Diskrit53 Stabilitas BIBO: Definisi •Suatu sistem linier waktu diskrit disebut stabil BIBO jika input terbatas (bounded) menghasilkan output terbatas (bounded) pula, yaitu jika:  u[k]   M   maka,  y[k]   L  

54 Analisa Sistem Waktu Diskrit54 Stabilitas BIBO: Kondisi •Untuk sistem dengan respons impuls p[k], input u[k] dan output y[k], maka berlaku: atau •Magnitudo dari output,

55 Analisa Sistem Waktu Diskrit55 Stabilitas BIBO: Kondisi •Untuk input bounded (  u[k]   M ) kita dapatkan, •Terlihat bahwa sistem waktu diskrit tersebut akan stabil jika respon impulsnya "absolutely summable", yaitu : atau

56 Analisa Sistem Waktu Diskrit56 Stabilitas BIBO: Lokasi Pole-Zero •Kondisi ekivalen dari syarat di atas adalah nilai karakteristik dari sistem memiliki magnitudo kurang dari satu. Ini dapat dilihat dari solusi persamaan beda untuk sistem kausal terdiri dari bentuk u k  n, k = 0,1, 2, …., M, dimana  merupakan nilai akar karakteristik dari sistem. •Jelas bahwa, jika     1, maka responnya menjadi tidak terbatas (unbounded) untuk semua input yang terbatas.

57 Analisa Sistem Waktu Diskrit57 Stabilitas BIBO: Jury Test Untuk setiap polinomial, Akar-akar polinomial berada dalam unit circle jika & hanya jika, (1) F(1) > 0 (2) (  1) n F(  1) > 0 (3) | a 0 | < a n (4) | b 0 | > | b n  1 | (5) | c 0 | > | c n  2 | (4.18). (n+1) | r 0 | > | r 2 |

58 Analisa Sistem Waktu Diskrit58 Stabilitas BIBO: Jury Test Row 1 2 z0a0anz0a0an z 1 a 1 a n  1 z 2 a 2 a n  2 z n  k a n  k a k z n  1 a n  1 a 1 znana0znana b 0 b n  1 b 1 b n  2 b 2 b n  3 b n  k b k b n  1 b c 0 c n  2 c 1 c n  3 c 2 c n  4 c n  2 c n  5 2 n  4 s0s3s0s3 s1s2s1s2 s2s1s2s1 s3s0s3s0 2 n  3r0r0 r1r1 r2r2

59 Analisa Sistem Waktu Diskrit59 Stabilitas BIBO: Jury Test •Entry tabel tersebut dihitung menggunakan rumus berikut,.

60 Analisa Sistem Waktu Diskrit60 Stabilitas BIBO: Jury Test •Sebagai contoh, periksa kestabilan sistem dengan persamaan karakteristik berikut, Row 1 2 z z z 2  2.05  0.56 z 3  0.56  2.05 z z        

61 Analisa Sistem Waktu Diskrit61 Stabilitas BIBO: Jury Test •Sebagai contoh, periksa kestabilan sistem dengan persamaan karakteristik berikut, (1) F(1) =  0.56  = > 0 (2) (  1) 5 F(  1) = (  1)(   2.05  ) =  < 0 (3) | 0.35 | < 1 (4) |  | > | | (5) | | < | | (6) |  | < |  | Syarat (2), (5) dan (6) tidak dipenuhi, maka polinomial mempunyai akar di luar unit circle. Hal ini, sebagaimana dapat dilihat dari faktorisasi polinomial tersebut terdapat akar  2.5, yang terletak di luar unit circle


Download ppt "Analisa Sistem Waktu Diskrit Yusuf Bilfaqih Jurusan Teknik Elektro."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google