MATRIKS BUDI DARMA SETIAWAN.

Presentasi berjudul: "MATRIKS BUDI DARMA SETIAWAN."— Transcript presentasi:

1 MATRIKS BUDI DARMA SETIAWAN

2 Matriks Sekumpulan elemen berupa angka/ simbol yang tersusun dalam baris dan kolom p q r s t u v w x

3 Matriks p q r s t u v w x A i j jumlah baris jumlah kolom

4 A33 A a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 p q r S t u v w x
Matriks a11 a12 a13 a21 a a23 a31 a a33 p q r S t u v w x A33 A Ordo Matriks: 3 x 3

5 Matriks Berdasarkan ordonya

6 Ordo Matriks: n x n Matriks Persegi 15 4 8 3 12 7 9 10 11 1 16 6
1 3 2 6 9 5 8 4 7 1 3 4 7

7 Matriks Kolom Ordo Matriks: n x 1 1 6 8

8 Matriks Baris Ordo Matriks: 1 x n

9 Matriks Tegak Ordo Matriks: m x n Untuk m > n 8 1 6 5 2 7

10 Matriks Datar Ordo Matriks: m x n Untuk m < n

11 Berdasarkan elemennya
Matriks Berdasarkan elemennya

12 Matriks Persegi dengan semua elemen bernilai 0
Matriks Diagonal Matriks Persegi dengan semua elemen bernilai 0 Kecuali unsur-unsur pada diagonal utama

13 Matriks Persegi dengan semua elemen bernilai 0 pada
Matriks Segitiga Matriks Persegi dengan semua elemen bernilai 0 pada unsur-unsur di bawah/ di atas diagonal utama

14 bernilai sama pada diagonal utama
Matriks Skalar Matriks Persegi Dengan semua elemen bernilai sama pada diagonal utama

15 Matriks Persegi dengan elemen
Matriks Simetri Matriks Persegi dengan elemen amn = anm a32 = a23 a33 = a33 a22 = a22 a13 = a31 a12 = a21 a11 = a11

16 TRANSPOSE Matriks

17 Matriks Transpose matriks Aij AT = Aji 2 6 8 5 1 7 2 8 1 6 5 7

18 Matriks Setangkup ? 3 5 -2 5 1 4 A = AT

19 OPERASI Matriks

20 Penjumlahan & Pengurangan Matriks
Ordo matriks harus sama a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 b11 b12 b13 b21 b22 b23 b31 b32 b33 A= B= A+B : aij+bij A-B : aij-bij

21 int i,j,m=3,n=3,a[m][n],b[m][n],c[m][n]; main() { for(i=0;i<m;i++) for(j=0;j<n;j++) cin>>a[i][j]; cin>>b[i][j]; c[i][j]=a[i][j]+b[i][j]; }

22 A’=kA= ka11 ka12 ka13 ka21 ka22 ka23 ka31 ka32 ka33
Perkalian skalar dengan matriks ka11 ka12 ka13 ka21 ka22 ka23 ka31 ka32 ka33 A’=kA=

23 Perkalian Matriks a11 a12 a21 a22 b11 a31 a32 b21 A32= B21=
Aij dengan Bjk menghasilkan matriks Cik a11 a12 a21 a22 a31 a32 b11 b21 A32= B21= a11*b11 + a12*b21 a21*b11 + a22*b21 a31*b11 + a32*b21 C31=

24 LATIHAN A = B = Tentukan: A+BT 2A*B Algoritma 2AT

25 OPERASI DASAR MATRIKS Hitunglah:
Baris ke tiga dari AB 3B – A 2A + X = B. Hitung matriks X2x3 jika diketahui

26 KAIDAH ILMU HITUNG MATRIKS
Hukum komutatif perkalian Bilangan real ab = ba Matriks Jika ordo A = 2 x 3, dan ordo B = 3 x 3 Jika ordo A = 2 x 3, dan ordo B = 3 x 2 AB = BA ?

27 KAIDAH ILMU HITUNG MATRIKS (2)
Dengan menganggap bahwa ukuran-ukuran matriks adalah sedemikian sehingga operasi- operasi yang ditunjukkan dapat dilakukan, maka kaidah-kaidah ilmu hitung matriks akan berlaku: ……

28 KAIDAH ILMU HITUNG MATRIKS (3)
Hukum komutatif untuk menambahan A + B = B + A Hukum asosiatif untuk penambahan A + (B + C) = (A + B) + C Hukum asosiatif untuk perkalian A(BC) = (AB)C Hukum distributif A(B + C) = AB + AC (B + C)A = BA + CA

29 KAIDAH ILMU HITUNG MATRIKS (4)
a(B + C) = aB + aC (a + b)C = aC + bC (ab)C = a(bC) a(BC) = (aB)C = B(aC) ≠ (aC)B

30 MATRIKS N0L Matriks 0 adalah matriks yang semua elemen-elemennya bernilai 0 Dalam ilmu hitung bilangan real terdapat hasil standar: jika ab = ac dan a ≠ 0, maka b = c (hukum peniadaan) Jika ad = 0, maka setidak-tidaknya salah satu antara a atau d bernilai 0

31 MATRIKS N0L A ≠ 0, tetapi B ≠ C AD = 0 tetapi A ≠ 0 dan D ≠ 0 Hitung :
AB AC AD A ≠ 0, tetapi B ≠ C AD = 0 tetapi A ≠ 0 dan D ≠ 0

32 MATRIKS IDENTITAS AI = A ; IB = B Sehingga AI dan IB terdefinisi
I  Matriks identitas I2  Matriks identitas berukuran 2 x 2

33 ? INVERS MATRIKS Definisi:
Matriks bujur sangkar A berukuran n x n mempunyai invers jika ada matriks B, sehingga AB = BA = In. Matriks B disebut matriks invers dari matriks A B = A-1 Tidak semua matriks memiliki invers ?

34 SOAL Jika ada, carilah invers matriks berikut:

35 INVERS MATRIKS 2 x 2 Matriks A mempunyai invers jika dan hanya jika ad-bc ≠ 0 dan matriks invers dari A adalah

36 PANGKAT MATRIKS A0 = I A1 = A A2 = AA A3 = AAA An+1 = AnA = AAn

37 SOAL Hitung inversnya menggunakan rumus Hitung A-2

38 OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)
Melakukan operasi perkalian dan pertukaran pada baris-baris di dalam matriks Contoh: 1. Oij(I) = Eij  2. Oi(λ)(I) = Ei(λ≠0)  3. Oij(λ)(I) = Eij(λ≠0)  Baris 1 ditukar dengan baris 3 Baris 2 dikalikan -2 Baris 1 ditambah dengan -2 kali baris 3

39 MATRIKS ELEMENTER Suatu matriks berukuran n x n dikatakan matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks identitas In dengan melakukan operasi baris elementer tunggal (hanya melakukan operasi baris elementers sebanyak 1 kali)

40 CONTOH MATRIKS ELEMENTER

41 SIFAT MATRIKS ELEMENTER
Eij . Eij = I Jika matriks A dikenakan operasi OBE padanya, ternyata nilainya sama dengan matriks elementer yang berkaitan dengan OBE tersebut dikalikan dengan matriks A Oij(A) = Eij . A Oi(λ)(A) = Ei(λ≠0) . A Oij(λ)(A) = Eij(λ≠0) . A

42 CONTOH O12(A) = E12 . A

43 MENCARI A-1 Cara I : menggunakan OBE (A | I)  OBE  (I | A-1)
Menambahkan -2 kali baris pertama pada baris kedua dan -1 kali baris pertama pada baris ketiga

44 MENCARI A-1 Menambahkan 2 kali baris kedua pada baris ketiga
Mengalikan baris ketiga dengan -1 Menambahkan 3 kali baris ketiga pada baris kedua dan -3 kali baris ketiga pada baris pertama Menambahkan -2 kali baris kedua pada baris pertama

45 MENCARI A-1

46 SOAL Carilah invers dari matriks berikut dengan menggunakan OBE:

47 TERIMA KASIH