Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Teorema Ramsey BY DARWIN DJENI NIM. 080210101043 YUNIKA DEWI WULANINGTYAS NIM. 080210101051.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Teorema Ramsey BY DARWIN DJENI NIM. 080210101043 YUNIKA DEWI WULANINGTYAS NIM. 080210101051."— Transcript presentasi:

1

2 Teorema Ramsey

3 BY DARWIN DJENI NIM YUNIKA DEWI WULANINGTYAS NIM

4 Ramsey Theory Problem 2 Problem 1 Teorema Problem 3 Teorema 4.3.1

5 Problem 1 Tunjukkan bila sisi K6 diwarnai oleh dua warna maka akan memuat segitiga monokromatik, tunjukkan pula bahwa K6 minimal dengan sifat ini.

6 Proof Diberikan pewarnaan sisi dari K 6 dengan merah dan biru, misal v adalah sembarang titik pada K 6. Ada paling sedikit 3 sisi merah terjadi dengan v atau paling sedikit 3 sisi biru dengan v, karena v mempunyai derajat 5.

7 Proof Kita asumsikan ada 3 sisi merah. Jika yang digambarkan dengan titik–titik (garis putus-putus) pada gambar adalah merah, maka akan ada segitiga merah. Jika semua biru, maka akan membentuk segitiga biru.

8 V V Figure 4.3.1

9 Dengan demikian, sembarang pewarnaan sisi pada K 6 oleh dua warna akan memuat segitiga monokromatik

10 Figure menunjukka n bahwa pewarnaan K 5 dengan dua warna dan tidak memuat segitiga monokromat ik Figure 4.3.2

11 Teorema Untuk setiap bilangan n, ada sebuah bilangan r(n) sedemikian hingga sembarang pewarnaan sisi dari komplit graf dengan r(n) titik, menggunakan merah dan biru harus memuat salah satu dari Kn merah atau Kn biru. Teorema Ramsey

12 Tunjukkan bahwa jika sisi K 9 diwarnai dengan merah dan biru, maka akan ada sebuah K 3 merah atau sebuah K 4 biru. Tunjukkan pula bahwa K 9 minimal dengan sifat ini. K 9 Problem 2

13 Kita asumsikan bahwa sisi dari K 9 diwarnai dengan merah dan biru. Jika dalam suatu titik dalam K 9 ada 4 sisi merah, seperti dalam gambar 4.3.3, maka akan ada sebuah segitiga merah atau sebuah K 4 biru. Proof Teorema Ramsey

14 V V

15 Ini pasti benar jika sisi yang digambar dengan garis putus-putus berwarna merah, maka ada sebuah K 3 merah Jika semua sisi yang digambar dengan garis putus-putus berwarna biru, maka akan membentuk sebuah K 4 biru. Teorema Ramsey Proof

16 no K 4 no K 3

17 Bilangan Ramsey r(m,n) Bilangan Ramsey r(m,n) adalah bilangan terkecil dengan sifat untuk setiap pewarnaan sisi grap komplit dengan r(m,n) titik dengan menggunakan warna merah dan biru haruslah memuat sebuah K m merah atau sebuah K n biru. Seperti telah diketahui bahwa r(3,4)=9. Sangat sedikit bilangan Ramsey yang telah diketahui.

18 Perhatikan bahwa r(1,n)=1, karena untuk sembarang pewarnaan sisi pada K 1 dengan dua warna memuat sebuah K 1 merah atau sebuah K n biru. Hal ini benar karena K 1 tidak memiliki sisi, sehingga semua sisi K 1 adalah merah. Demikian juga r(2,n)=n, karena untuk sembarang pewarnaan sisi K n dengan merah dan biru memuat sebuah K 2 merah, dengan demikian dia memuat sebuah sisi merah, dia memuat sebuah K n biru.

19 Bilangan Ramsey r(m,n) yang telah diketahui: r(1,n) = 1r(2,n) = n r(3, 3) = 6r(3,4) = 9 r(3,5) = 14r(3,6) = 18 r(3,7) = 23r(3,9) = 36 r(4,4) = 18

20 Untuk setiap m dan n, ada bilangan Ramsey r(m,n) sedemikian hingga untuk sembarang pewarnaan sisi Kr(m,n) dengan merah dan biru memuat sebuah Km merah atau sebuah Kn biru. Selanjutnya r(m,n) memenuhi pertidaksamaan Teorema r(m,n) ≤ r(m-1,n) + r(m,n-1)

21 Kita memulai dengan induksi pada K=m+n. Nilai terkecil yang memenuhi persamaan adalah K=4, untuk n=2 dan m=2 maka r(2,2) = 2 ≤ 1+1 = r(1,2) + r(2,1) Proof Theorem 4.3.2

22 Proof Theorem Sekarang andaikan bahwa teorema ini benar untuk semua nilai k Misalkan G adalah grap komplit r(m-1,n)+r(m,n-1) titik.

23 Proof Theorem Kita asumsikan bahwa sisi dari G diwarnai dengan merah dan biru. Misalkan v adalah sembarang titik pada G. Pada salah satu v ada r(m-1,n) sisi merah atau r(m,n-1) sisi biru.

24 Untuk membuktikan bahwa ini benar, anggap bahwa degree dari v adalah r(m- 1,n)+r (m,n-1) – 1. r (m-1,n) r (m,n-1) V … …

25 Case 1 Case 2 Theorem 4.3.2

26 Jika ada r(m-1,n) sisi merah pada v, the subgraph H induced by the other endpoints of these edges is a complete graph with r(m-1,n) vertices that is edge colored with red and blue. Thus either there is a red K m-1 in H, that together with v forms a red K m in G, or there is a blue K n in H and hence also in G. 1 2 C A S E 1

27 Oleh karena itu, jika ada r(m-1,n) sisi merah pada v, maka salah satu G memuat sebuah K m merah atau sebuah K n biru. C A S E 1 3

28 1 If there are r (m, n-1) blue edges at v, the subgraph I induced by the other endpoints of these edges is a complete graph with r(m,n-1) vertices that is edge colored with red and blue. 2 Thus either there is a red K m in I and hence in G, or there is a blue K n-1 in I, that together with v forms a blue K n in G.

29 3 Oleh karena itu, jika ada r(m,n-1) sisi biru pada v, maka salah satu G memuat sebuah K m merah atau sebuah K n biru Dan dapat kita tetapkan bahwa r (m, n) ≤ r(m-1,n) + r(m,n-1) Jika kita definisikan r(n,n)=r(n), maka Teorema adalah sebuah kasus khusus dari Teorema 4.3.2

30 Tunjukkan bahwa jika sisi dari K 5,5 diwarnai dengan dua warna, maka akan ada sebuah monokromatik K 2,2 P R O B L E M 3

31 Ada 25 sisi pada K 5,5 satu warna akan mewarnai sedikitnya 13 sisi Karena masing-masing sisi memiliki titik ujung pada masing-masing himpunan partisinya, dapat kita lihat banyaknya sisi dengan 5 titik pada salah satu himpunannya P R O O F

32 Perhatikan bahwa pewarnaan dengan memuat sebuah monokromatik K 2,2 dengan tepat saat dua dari titiknya memiliki dua tetangga Secara umum ada tiga kasus: P R O O F

33 Satu titik v mempunyai derajat 5 dalam S. Karena rata-rata derajat dari 4 titik tersisa adalah 2, sedikitnya satu titik mempunyai derajat paling sedikit 2, sebut itu dengan w. Maka v dan w dua tetangga yang sama dan ada K 2,2 C A S E 1

34 Satu titik memiliki derajat 4 di S. Karena masih ada sisa 9 sisi lagi, maka paling sedikit titik w memiliki derajat 3 di S, sehingga akan ada minimal 2 tetangga yang sama dengan v, sehingga ada K 2,2 C A S E 2

35 Minimal ada 3 titik yang berderajat 3 di S, sehingga pasti ada K 2,2 C A S E 3

36


Download ppt "Teorema Ramsey BY DARWIN DJENI NIM. 080210101043 YUNIKA DEWI WULANINGTYAS NIM. 080210101051."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google