Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Pertemuan 1 Metnum 2011 Bilqis. T. Inf - ITS / 2009-2014KomNum2 Materi Minggu Ini Pengertian Komputasi Numerik Pengertian “Bilangan Berarti” Pengertian.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Pertemuan 1 Metnum 2011 Bilqis. T. Inf - ITS / 2009-2014KomNum2 Materi Minggu Ini Pengertian Komputasi Numerik Pengertian “Bilangan Berarti” Pengertian."— Transcript presentasi:

1 Pertemuan 1 Metnum 2011 Bilqis

2 T. Inf - ITS / KomNum2 Materi Minggu Ini Pengertian Komputasi Numerik Pengertian “Bilangan Berarti” Pengertian Akurasi & Presisi Aturan Pembulatan Pengertian “Kesalahan” Deret Taylor Tugas I

3 T. Inf - ITS / KomNum3 Apa Itu Komputasi Numerik? (1) Komputasi Numerik : memformulasikan masalah kemudian diselesaikan dengan cara matematika Hubungan antara dunia nyata – model – solusi model fisikmatematis analisis numerik

4 T. Inf - ITS / KomNum4 Apa Itu Komputasi Numerik? (2) Model untuk : -Memudahkan dalam analisa masalah -Menghemat waktu -Mengurangi resiko -Menirukan hal-hal yang ada di dunia nyata -Dapat diulang kapanpun Contoh : -Simulasi pesawat -Simulasi bom atom -Perhitungan simulasi bisa menggunakan metnum

5 T. Inf - ITS / KomNum5 Apa Itu Komputasi Numerik? (3) Menghitung sesuatu : - analisis : hasil sebenarnya - numerik : hasil mendekati sebenarnya - aproximasi - pendekatan Contoh : V = km/jam sebenarnya kecepatan juga dipengaruhi oleh angin  menggunakan pendekatan karena adanya faktor luar pendekatan sebenarnya

6 T. Inf - ITS / KomNum6 Apa Itu Komputasi Numerik? (4) Permasalahan di atas adalah contoh sebuah persoalan yang dapat diselesaikan melalui 2 pendekatan : 1. Analitis 2. Numeris Now let’s see each approaches playing their roles! Seorang penerjun yang memiliki bobot gr meloncat dari sebuah pesawat terbang. Jika diketahui koefisien tahanan udara c adalah gr/dt dan konstanta gravitasi sebesar 980 cm/dt 2. Hitung kecepatan penerjunan tepat sebelum penerjun membuka payungnya.

7 T. Inf - ITS / KomNum7 Apa Itu Komputasi Numerik? (5) Jika F = m.a Dan a = dv/dt Maka F = m dv/dt t, detv, cm/det , , , , , ,0 ∞5.339,0 Pendekatan Analitis Jika F = F D + F U Dan F D = m.g Dan F U = -c.v Maka m dv/dt = mg – cv Atau dv/dt = g – (c/m).v V(t) = gm/c. [1 – e -(c/m)t ]

8 T. Inf - ITS / KomNum8 Apa Itu Komputasi Numerik? (6) Jika dv/dt = [ v(t i+1 ) – v(t i ) ] / (t i+1 – t i ) Maka [ v(t i+1 ) – v(t i ) ] / (t i+1 – t i ) = g – (c/m).v(t i ) atau v(t i+1 ) = V(t i ) + [ g – (c/m).v(t i ) ]. (t i+1 – t i ) t, detv, cm/det , , , , , ,9 ∞5.339,0 Pendekatan Numeris taksiran (solusi numerik) pasti (solusi analitis)

9 T. Inf - ITS / KomNum9 Bilangan Berarti Secara umum, sebuah bilangan dapat dibedakan menjadi 2 : a.Bilangan Eksak ( π, √2, e, … ) b.Bilangan Pendekatan (3,1416, 1,4142, , …) Sementara, bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan 0 masing-masing adalah bilangan BERARTI, kecuali : a.jika 0 hanya digunakan untuk menentukan titik desimal contoh : 0,0069hanya 6 dan 9 bilangan berarti-nya b.jika 0 digunakan untuk mengisi tempat dari digit yang dapat dibuang (dapat tidak ditulis). contoh : ,63 x 10 4 atau4,630 x 10 4 bilangan berarti : 4 6 3dan

10 T. Inf - ITS / KomNum10 Akurasi dan Presisi (1) Perhatikan gambar di bawah. Apa pendapat anda mengenai istilah “Akurasi” dan “Presisi” ?

11 Metnum 01-T.Informatika-ITS11 -Akurasi : mendekati akurat / kebenaran -Presisi : konsisten / tetap hasil berikutnya beda sedikit dari hasil saat ini 11 ≠ a ≠ p ≠ a p a ≠ p a p

12 T. Inf - ITS / KomNum12 Aturan Pembulatan (1) Angka < 5, bulatkan ke bawah Angka > 5, bulatkan ke atas Angka = 5 –di kiri 5 ganjil, bulatkan ke atas ex : 2, –dikiri 5 genap, bulatkan ke bawah ex : 2,2252,22

13 T. Inf - ITS / KomNum13 Pengertian “Kesalahan” (1) Et = Error true (sebenarnya) Ea = Error aproximate (perkiraan)

14 T. Inf - ITS / KomNum14 contoh :Pengukuran panjang sebuah jembatan dan sebuah pensil memberikan hasil masing-masing cm dan 9 cm. Jika panjang eksak jembatan adalah cm dan pensil 10 cm, hitunglah kesalahan true. Kesalahan sebenarnya (true) Jembatan : E t = ( – 9.999)/ x 100% = 0.01% Pensil : E t = (1/10) x 100% = 10% Dari penghitungan kesalahan sebenarnya dapat disimpulkan bahwa hasil pengukuran terhadap jembatan lebih memuaskan dibanding hasil pengukuran pada pensil. Pengertian “Kesalahan” (3)

15 T. Inf - ITS / KomNum15 Deret Taylor sering dipakai sebagai dasar untuk menyelesaikan banyak permasalahan numerik (khususnya yang berkaitan dengan persamaan diferensial). Dengan menggunakan nilai dan turunan fungsi f(x) di sekitar titik x i, deret Taylor dapat memberikan rumusan untuk meramalkan harga suatu fungsi f(x) pada titik (x i+1 ). Bentuk umum deret Taylor adalah sebagai berikut : f(x i+1 ) = f(x i ) + f’(x i )(x i+1 – x i ) + f’’(x i )/2!. (x i+1 – x i ) 2 + … + f n (x i )/n!. (x i+1 – x i ) n + R n dengan Rn = [ f (n+1) ( ξ ) / (n+1)! ]. (x i+1 – x i ) n+1 dimana : f(x i ) = fungsi di titik x i f(x i+1 ) = fungsi di titik x i+1 f’, f’’, … = turunan fungsi f R n = kesalahan pemotongan ξ = harga x yang terletak di antara x i dan x i+1 Deret Taylor (1)

16 T. Inf - ITS / KomNum16 Deret Taylor sangat baik digunakan untuk melakukan pendekatan terhadap sebuah fungsi yang belum kita ketahui karakteristiknya Deret Taylor memiliki suku tak berhingga, sehingga kita dapat melakukan pemotongan pada sebarang suku untuk mempelajari perilaku deret tersebut dalam membentuk dan memaknai suku-sukunya. Deret Taylor (2)

17 T. Inf - ITS / KomNum17 Jadi jika deret Taylor dapat ditulis seperti berikut : f(x i+1 ) = f(x i ) + f’(x i )(x i+1 – x i ) + f’’(x i )/2!. (x i+1 – x i ) 2 + … + f n (x i )/n!. (x i+1 – x i ) n + R n Deret Taylor (3) Maka orde ke-0 (zero order) adalah : f(x i+1 ) ≈ f(x i ) Orde ke-1 (first order) adalah : f(x i+1 ) ≈ f(x i ) + f’(x i )(x i+1 – x i ) Orde ke-2 (second order) adalah : f(x i+1 ) ≈ f(x i ) + f’(x i )(x i+1 – x i ) + f’’(x i )/2!. (x i+1 – x i ) 2 Dan orde ke-3 (third order) adalah : f(x i+1 ) ≈ f(x i ) + f’(x i )(x i+1 – x i ) + f’’(x i )/2!. (x i+1 – x i ) 2 + f’’’(x i )/3!. (x i+1 – x i ) 3

18 T. Inf - ITS / KomNum18 contoh : Gunakan perluasan deret Taylor orde ke-0 hingga orde ke-2 untuk menaksir fungsi : f(x) = -0,1x 4 – 0,15x 3 – 0,5x 2 – 0,25x + 1,2 jika titik basis perhitungan x = 0 hitung nilai taksiran fungsi pada x = 1. Deret Taylor (4) solusi : perilaku fungsi di atas adalah seperti berikut : untuk x = 0 → f(0) = 1,2 untuk x = 1 → f(1) = 0,2 jadi tugas kita sekarang adalah melakukan perhitungan numerik untuk mendekati nilai 0,2 tersebut. perlu diingat bahwa pada banyak kasus, perilaku fungsi yang asli seringkali tidak diketahui!

19 T. Inf - ITS / KomNum19 Orde ke-0 (n = 0) : f(x i+1 ) = f(x i ) F(Xi) = f(0) = 1,2 F(xi+1) = f(1) = f(0) ≈ 1,2 berarti kesalahan truenya adalah : E t = (0,2 – 1,2)/0,2 x 100% = 500% Deret Taylor (5) Orde ke-1 (n = 1) : f(x i+1 ) = f(x i ) + f’(x i )(x i+1 – x i ) F(Xi) = f(0) = 1,2 F’(Xi) =f’(0) = -0,4(0.0) 3 – 0,45(0,0) 2 – 1,0(0,0) – 0,25 = - 0,25 f(x i+1 ) = f(1) = 1,2 – 0,25(x i+1 – x i ) f(1) = 0,95 berarti kesalahan truenya adalah : E t = (0,2 – 0,95)/ 0,2 x 100% = 375%

20 T. Inf - ITS / KomNum20 Deret Taylor (6) Orde ke-2 (n = 2) : f(x i+1 ) = f(x i ) + f’(x i )(x i+1 – x i ) + [ f’(x i )/2! ](x i+1 – x i ) 2 F(Xi) = f(0) = 1,2 F’(Xi) =f’(0) = -0,4(0.0) 3 – 0,45(0,0) 2 – 1,0(0,0) – 0,25 = - 0,25 F’’(Xi) = f’’(0) = - 1,2(0,0) 2 – 0,9(0,0) – 1,0 = - 1,0 f(x i+1 ) = f(1) = 1,2 – 0,25(x i+1 – x i ) – 0,5(x i+1 – x i ) 2 f(1) = 0,45 berarti kesalahan truenya adalah : E t = (0,2 – 0,45) / 0,2 x 100% = 125%

21 T. Inf - ITS / KomNum21 f(1) = 1.2 – 0.25(1) – 0.5(1) 2 – 0.15(1) 3 – 0.10(1) 4 = 0.2 Deret Taylor (7)

22 T. Inf - ITS / KomNum22 1. Gunakan perluasan deret Taylor orde ke-0 sampai orde ke-4 untuk menaksir nilai f(2) dari fungsi : f(x) = e -x Gunakan titik basis perhitungan x = 1. Dan hitung kesalahan true untuk setiap langkah 2.Gunakan perluasan deret Taylor orde ke-0 sampai orde ke-3 untuk menaksir nilai f(3) dari fungsi : f(x) = 25x 3 – 6x 2 + 7x – 88 Gunakan titik basis perhitungan x = 2. Dan hitung kesalahan true untuk setiap langkah 3.Gunakan perluasan deret Taylor orde ke-0 sampai orde ke-4 untuk menaksir nilai f(4) dari fungsi : f(x) = ln x Gunakan titik basis perhitungan x = 2. Dan hitung kesalahan true untuk setiap langkah Tugas 1 (kerjakan 2 saja)


Download ppt "Pertemuan 1 Metnum 2011 Bilqis. T. Inf - ITS / 2009-2014KomNum2 Materi Minggu Ini Pengertian Komputasi Numerik Pengertian “Bilangan Berarti” Pengertian."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google