Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

TRANSFORMASI LAPLACE Matematika Lanjut 2 Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "TRANSFORMASI LAPLACE Matematika Lanjut 2 Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma."— Transcript presentasi:

1 TRANSFORMASI LAPLACE Matematika Lanjut 2 Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma

2 Definisi: Transformasi Laplace adalah transformasi dari suatu fungsi waktu f(t), t≥0 menjadi fungsi frekuensi F(s). Transformasi dilakukan dengan operasi perkalian dan integrasi yang didefinisikan sebagai berikut: L {f(t)} = = F(s) Dimana: e = bilangan Euler = ….. s = konstanta frekuensi kompleks Faktor perkalian membuat fungsi F(s) konvergen untuk batasan s tertentu. Notasi L disebut operator Laplace. Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma

3 Contoh: 1.Tentukan transformasi Laplace dari fungsi ! Jawab: L {f(t)} = Untuk s > 0, akan berlaku: Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma

4 2. Tentukan transformasi Laplace dari fungsi ! Jawab: Sekali lagi, untuk s > 0, akan berlaku: Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma

5 Dengan demikian, secara umum transformasi Laplace untuk fungsi waktu adalah: L {t n } = F(s) = ; dengan syarat s > 0 Coba anda buktikan!! Bagaimana jika s ≤ 0?? Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma

6 Dengan menggunakan definisi transformasi Laplace dan melakukan operasi integrasi seperti pada contoh-contoh sebelumnya, maka akan diperoleh hasil transformasi Laplace untuk beberapa fungsi umum sebagai berikut: f(t)F(s) 1 Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma

7 Kilasan Fungsi Gamma Notasi Г menyatakan fungsi Gamma, yaitu fungsi yang didefinisikan sebagai berikut: Memiliki sifat:,dan Akan dipelajari lebih lanjut dalam bab berikutnya. Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma

8 Perhatikan contoh berikut: L {2t+t} = Dengan menggunakan sifat integral, akan diperoleh: = L {t 2 } + L {2t} Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma

9 Sehingga secara umum untuk sembarang fungsi waktu f(t), g(t) dan sembarang skalar k, berlaku: L {k.f(t) ± g(t)} = k. L {f(t)} ± L {g(t)} Dengan kata lain, transformasi Laplace memenuhi sifat linieritas terhadap penjumlahan dan perkalian skalar. Dan operator Laplace L merupakan operator linier. Sifat linieritas dari transformasi Laplace ini dapat digunakan untuk menghitung hasil transformasi Laplace dari fungsi-fungsi yang melibatkan penjumlahan dua fungsi atau lebih dan perkalian skalar didalamnya. Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma

10 Transformasi Laplace untuk Fungsi Tangga Satuan Definisi fungsi tangga: Untuk sembarang bilangan riil a, maka fungsi : disebut fungsi tangga satuan. Transformasi Laplace untuk fungsi tangga s(t-a) adalah: L { } = ; dengan syarat s > 0 Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma

11 Soal Latihan: Tentukanlah transformasi Laplace dari fungsi-fungsi waktu berikut: Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma

12 Invers dari Transformasi Laplace Hasil transformasi Laplace dari suatu fungsi waktu yaitu F(s) dapat dikembalikan lagi menjadi fungsi asalnya, dengan operator L -1 yang disebut invers dari transformasi Laplace. Secara matematis dapat ditulis: Sehingga, L -1 dst… Jika L {f(t)} = F(s), maka L -1 {F(s)} = f(t) Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma

13 Contoh: L -1 = L -1 = 2. L -1 L -1 L -1 = Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma

14 Teorema-Teorema dalam Transformasi Laplace Teorema 1 [Transformasi Laplace dari Turunan Fungsi] L {f’(t)} = s. L {f(t)} – f(0) dimana f(0) adalah nilai awal untuk fungsi f, atau disebut juga initial value Teorema 2 [Transformasi Laplace dari Turunan Fungsi] L {f n (t)} = s n. L {f(t)}-s n-1.f(0)-s n-2.f’(0)-s n-3.f”(0)- ….. – f (n-1) (0) Teorema 3 [Teorema Translasi Pertama] Jika L {f(t)} = F(s), maka L {e at f(t)} = F(s-a). Sehingga juga L -1 {F(s-a)} = e at f(t) Teorema 4 [Teorema Translasi Kedua] Jika L {f(t)} = F(s), maka L {.f(t)} = e -as.F(s) Sehingga juga L -1 {e -as.F(s)} =.f(t) Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma

15 Teorema 5 Jika L {f(t)} = F(s), maka L {f(at)} =(1/a). F(s/a) Sehingga juga L -1 {F(s/a)} = a.f(at) Teorema 6 Jika L {f(t)} = F(s), maka untuk n =1,2,3,… berlaku L {t n f(t)} = (-1) n.F (n) (s) Sehingga berlaku juga L -1 {F (n) (s)} = (-1) n t n f(t) Teorema 7 [Teorema Fungsi Periodik] Jika f(t) adalah fungsi periodik dengan periode P > 0, yaitu f(t+P) = f(t) maka L {t n f(t)} = Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma

16 Teorema 8 [Teorema Pengintegralan] Jika L {f(t)} = F(s), maka L Sehingga juga berlaku L -1 Teorema 9 Jikaada dan L {f(t)} = F(s), maka L Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma

17 Teorema 10 [Teorema Konvolusi] Jika L {f(t)} = F(s) dan L {g(t)} = G(s), maka L Sehingga juga berlaku: L -1 {F(s).G(s)} = Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma

18 Soal Latihan: Buku diktat halaman Soal nomor 28-33!! Buku diktat halaman Soal nomor 39-44!! Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma


Download ppt "TRANSFORMASI LAPLACE Matematika Lanjut 2 Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google