Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Proses Stokastik Semester Ganjil 2013/2014 DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Proses Stokastik Semester Ganjil 2013/2014 DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc."— Transcript presentasi:

1 Proses Stokastik Semester Ganjil 2013/2014 DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

2  Perhatikan rantai markov berikut ini α β γ 1  Dengan matriks peluang transisi:  Pada suatu periode n ketika pertama kali X n di 0 atau 2:  Rantai tersebut tetap berada di 0 atau 2 selamanya  Trapped/Absorbed

3 First Step Analysis  Digunakan untuk menganalisis:  Berapa lama secara rata-rata proses/rantai markov akan mencapai state-state tersebut?  Pada contoh: state 0 atau 2.  Berapa lama rantai akan terserap (absorbed/trapped)  Pada contoh: state 0 dan 2 adalah absorbing states.  Time to absorption:

4  Analisis pada time to absorption ke state 0  Digunakan definisi-definisi berikut: Peluang pada periode T rantai terjebak/terserap di 0, dengan syarat proses berawal di state 1 10 Periode 0 …… Periode T  Nilai harapan dari time to absorption

5  Dari rantai markov tsb, berapapun langkah transisi, ketika rantai terserap pada state 0 pada periode T, berlaku: α β γ 1 Definisi

6 10 Periode 0 …… Periode T Periode 1 α β γ … … 1 u 0 Transisi satu langkah berawal di state 1 Transisi beberapa langkah dan berakhir di state 0 (terserap/absorbed)

7 Peluang pada periode T rantai terjebak/terserap di 0, dengan syarat proses berawal di state 1 Dengan sifat: Jika terserap di state 2, peluangnya:

8 Time to absorption  Paling sedikit satu langkah  Ketika X 1 =0 atau 2  Tidak ada transisi lanjutan (0 langkah) dengan peluang masing-masing α dan ϒ  Ketika X 1 =1 masih dibutuhkan rata-rata v langkah lagi menuju 0 atau 2 dengan peluang β

9 Contoh:  Perhatikan rantai markov berikut ini  Dengan matriks peluang transisi: Dengan syarat proses berawal di state 1, tentukan peluang bahwa rantai Markov tsb berakhir di state 0!

10  Adalah: Peluang pada periode T rantai terjebak/terserap di 0, dengan syarat proses berawal di state 1. Berdasarkan first step analysis:

11  Tentukan rata-rata time to absorption! Dengan definisi T langkah minimum untuk sampai ke absorbing state, 0 atau 2: Rata-rata dari T adalah rata-rata time to absorption: Dibutuhkan rata-rata 2.5 langkah untuk terserap di state 0 atau 2

12 First Step Analysis untuk Rantai Markov dengan 4 state  Perhatikan rantai markov berikut ini P 10 1  Dengan matriks peluang transisi: 2 P 11 P 13 P 12 P 20 P 21 P 23 P 22

13  Pada suatu periode n ketika pertama kali X n di 0 atau 3:  Rantai tersebut tetap berada di 0 atau 3 selamanya  Trapped/Absorbed  Dengan definisi dari Time to absorption:  Analisis pada time to absorption ke state 0  Digunakan definisi-definisi berikut:  Nilai harapan dari time to absorption

14  Dari rantai markov tsb, berapapun langkah transisi, ketika rantai terserap pada state 0 pada periode T, berlaku: Definisi

15 Berawal dari state1 berakhir di 0 10 Periode 0 …… Periode T Periode … … 1 u1u1 Transisi satu langkah berawal di state 1 Transisi beberapa langkah dan berakhir di state 0 (terserap/absorbed) … u2u2 0

16 Berawal dari state 2, berakhir di 0 20 Periode 0 …… Periode T Periode … … 1 u1u1 Transisi satu langkah berawal di state 2 Transisi beberapa langkah dan berakhir di state 0 (terserap/absorbed) … u2u2 0

17  Dua sistem persamaan untuk dua variabel:  Dengan substitusi atau eliminasi, diperoleh solusi sbb:  Jika rantai berawal di state 1:  Akan terserap di state 0 dengan peluang 30/43  Akan terserap di state 3 dengan peluang (1 - 30/43)=13/43  Jika rantai berawal di state 2:  Akan terserap di state 0 dengan peluang 19/43  Akan terserap di state 3 dengan peluang (1 - 19/43)=24/43

18 Time to absorption, ketika berawal di state 1  Ketika berawal di state 1 diperlukan paling sedikit satu langkah  Ketika X 1 =0 atau 3 tidak ada transisi lanjutan (0 langkah) dengan peluang masing-masing P 10 dan P 13  Ketika X 1 =1 masih dibutuhkan rata-rata v 1 langkah lagi menuju 0 atau 3 dengan peluang P 11  Ketika X 1 =2 masih dibutuhkan rata-rata v 2 langkah lagi menuju 0 atau 3 dengan peluang P 12

19 Time to absorption, ketika berawal di state 2  Ketika berawal di state 2 diperlukan paling sedikit satu langkah  Ketika X 1 =0 atau 3  Tidak ada transisi lanjutan (0 langkah) dengan peluang masing-masing P 20 dan P 23  Ketika X 1 =1 masih dibutuhkan rata-rata v 1 langkah lagi menuju 0 atau 3 dengan peluang P 21  Ketika X 1 =2 masih dibutuhkan rata-rata v 2 langkah lagi menuju 0 atau 3 dengan peluang P 22

20  Untuk matriks peluang transisi:  Diperoleh dua sistem persamaan untuk dua variabel sbb:  Dengan substitusi atau eliminasi diperoleh:

21  Jika berawal dari state 1, maka secara rata-rata akan diperlukan 90/43=2.09 langkah untuk terserap di state 0 atau 3  Jika berawal dari state 2, maka secara rata-rata akan diperlukan 100/43=2.32 langkah untuk terserap di state 0 atau 3

22 Probability of absorption In General  For any finite state Markov chain X n : 0, 1, …, N  Some states are transient (non absorbing states): i  Some states are absorbing states: k  For an absorbing state k:  are the solution of the system of linear equations:

23 Dari contoh rantai markov 4 state  Hasil yang diperoleh dari pembahasan sebelumnya

24 Time to Absorption in General  Time to absorption for each transient states is the solution of the system of linear equations:

25 Dari contoh rantai markov 4 state  Hasil yang diperoleh dari pembahasan sebelumnya

26 Example: A rat inside a 3 by 3 maze 017 Food Shock 56

27  The probability that the rat will be absorbed in the food compartement 7, depends on its initial position.  The solutions of the following equation system:

28 017 Food Shock 56  By the symmetry of the maze:  Which simplifies the system, and leads to the solutions:

29 Example: A toss of a coin until 2 successive heads  X n : the cumulative number of succesive head up to the n-th toss  The state: 0, 1, 2  Stop the toss when we get HH T T H 0.5 P 00 P 01 H T H 0.5 P 10 P 12

30  The mean time to reach state 2 (the absorbing state) from state 0: Mean time to absorption

31  By substitution, we get:  It takes 6 tosses on average to reach state 2 (consecutive heads)


Download ppt "Proses Stokastik Semester Ganjil 2013/2014 DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google