Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Proses Stokastik Semester Ganjil 2013/2014 DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Proses Stokastik Semester Ganjil 2013/2014 DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc."— Transcript presentasi:

1 Proses Stokastik Semester Ganjil 2013/2014 DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

2 2 Proses Stokastik  Peubah acak yang merupakan fungsi dari t  Index t paling sering mewakili waktu  X t adalah state dari proses pada waktu t.  Himpunan T: index set dari proses  Jika T bersifat diskrit  A discrete-time proses.  Jika T bersifat kontinyu  A continuous time proses  State space E: himpunan seluruh kemungkinan nilai peubah acak X t

3 3 Proses Stokastik  Contoh:  Suhu di kota Malang pada Rabu, 12 Oktober 2011  T = [00.00 Rabu dini hari, Kamis dini hari]  E= himpunan bilangan riil yang mewakili suhu  Jika pengamatan suhu dilakukan per jam, dalam kurun waktu tersebut:  Proses stokastik dalam waktu diskrit (Discrete time stochastic process)

4 4 Peluang cuaca besok dipengaruhi oleh cuaca hari ini • Jika hari ini hujan 40% kemungkinan besok hujan 60% kemungkinan besok tidak hujan • Jika hari ini tidak hujan20% kemungkinan besok hujan 80% kemungkinan besok tidak hujan Hujan Tidak Hujan Stokastik Proses dalam peramalan cuaca: Markov Chain

5 Discrete Time Markov Chain  Proses stokastik dengan memori yang terbatas  Nilai peubah pada waktu ke n+1 hanya tergantung pada nilai peubah pada waktu ke n (waktu sebelumnya)  Indeks menunjukkan waktu diskrit, n+1, n, n-1, …, 0. n>0  E= himpunan seluruh kemungkinan nilai peubah (State): i, j, i n-1, …, i 0 Transition Probability

6 Pada Contoh Cuaca  Himpunan State yang mungkin, E: Hujan, Tidak Hujan  n: indeks yang menunjukkan hari ke – n  X n merupakan realisasi dari cuaca pada hari ke – n  Cuaca pada suatu hari hanya dipengaruhi oleh cuaca pada hari sebelumnya  Digambarkan dalam transition probability function:

7  Transition probability dinyatakan secara lengkap dalam transition probability matrice  Ukuran matriks bersesuaian dengan jumlah seluruh state yang mungin  Pada kasus cuaca: ada 2 kemungkinan  Matriks berukuran 2 × 2 Hujan Tidak Hujan

8 Sifat Discrete Time Markov Chain (lanjut)  State berupa bilangan bulat tidak negatif {0, 1, 2, …}  X n = j :  Rantai markov pada waktu n berada pada state j.  Peluang transisi satu langkah P ij :  Peluang X n+1 berada pada state j dengan syarat X n berada pada state i  Peluang transisi satu langkah untuk seluruh kemungkinan nilai i dan j dinyatakan dalam transition probability matrix

9  Syarat bagi elemen transition probability matrix P ij  0 untuk semua i dan j  dan untuk i = 0, 1, 2, …

10  Matriks peluang transisi dan sebaran peluang untuk initial process dapat mendefinisikan proses secara lengkap:  Peluang gabungan dari proses Markov sejak proses tersebut dimulai  Perhitungan peluang gabungan  Memanfaatkan sifat peluang bersyarat

11  Dengan sifat bahwa nilai peubah pada waktu ke n+1 hanya tergantung pada nilai peubah pada waktu ke n (waktu sebelumnya)  Peluang gabungan dalam bentuk peluang bersyarat:

12  Secara rekursif akan diperoleh hubungan berikut:  Di mana

13 Contoh:  Misalkan pada kasus cuaca:  Peluang hari hujan adalah 0.3  Peluang hari tidak hujan adalah 0.7  Dengan matriks peluang transisi yang sudah didefinisikan:

14  Peluang bahwa dalam beberapa hari berturut-turut (4 hari) terjadi urutan cuaca berikut  Hujan, Tidak Hujan, Hujan, Tidak Hujan  Sebesar 2%

15 Transisi n langkah dari Rantai Markov  Matriks peluang transisi hanya mendefinisikan proses perubahan dari state i ke state j dalam satu langkah (periode m ke m+1)  Bagaimana jika ingin diketahui perubahan proses dari state i ke state j dalam n langkah (periode m ke m+n)?

16 Contoh Pada Kasus Cuaca  Peluang hari ini hujan dengan syarat kemarin tidak hujan adalah 0.2  Bagaimana peluang bahwa besok hujan jika kemarin tidak hujan? Hujan Tidak Hujan KemarinHari ini Besok Tidak Hujan Hujan

17  Perhatikan bahwa:  Yang merupakan elemen untuk baris nol kolom 1 pada matriks P 2

18 Transisi n langkah dari Rantai Markov (lanjut)  Peluang transisi n langkah dari rantai Markov memenuhi (Chapman-Kolmogorov equations):  Yang merupakan elemen dari:

19 Contoh:  Misalkan bahwa produk yang dihasilkan oleh suatu mesin dapat digolongkan menjadi “defective” atau “non-defective” (“cacat” dan “tidak cacat”)  Diasumsikan (akibat kecenderungan mesin atau bahan mentah) bahwa cacat atau tidaknya suatu produk dipengaruhi oleh kategori dari produk sebelumnya

20  Dengan matriks peluang transisi:  Berapa peluang diperolehnya produk keempat cacat jika produk pertama cacat Elemen baris 1 kolom 1 pada matriks P 3

21 Contoh Rantai Markov Pada Sistem Sediaan  Pada suatu sistem persediaan (gudang)  Harus selalu ada stok untuk memenuhi permintaan  Misal: Pengisian persediaan dilakukan setiap akhir minggu ke n = 0, 1, 2, ….  Total permintaan pada minggu ke n adalah peubah acak ξ n (misalkan hanya ada 0, 1, atau 2 permintaan) dengan peluang: Jika secara umum k menunjukkan kemungkinan jumlah permintaan, k = 0, 1, 2

22  Pengisian stok berdasarkan jumlah persediaan di akhir minggu ke n (X n ):  Jika X n ≤ s unit pengisian stok dilakukan sampai dengan S unit (S>s)  Jika X n > s unit, tidak perlu dilakukan pengisian stok  X n adalah proses stokastik dengan kemungkinan state:  S, S-1, …, 1, 0, -1, -2, …  X n <0 jika terjadi back order  Misalkan S=2 dan s=0, maka:  Jika X n ≤ 0 unit pengisian stok dilakukan sampai dengan 2 unit  Jika X n > 0 unit, tidak perlu dilakukan pengisian stok

23  Jumlah persediaan di akhir minggu ke n+1 (X n+1 ) dipengaruhi oleh:  Jumlah persediaan di akhir minggu ke n (X n )  Demand pada minggu ke n+1 ( ξ n+1 )  Dilakukan pengisian stok atau tidak Pengisian tidak dilakukan Pengisian dilakukan 2, 1, 0, -1 adalah kemungkinan state dari X n

24  X n adalah rantai markov (diskrit) karena:  State X n+1 tergantung dari state di periode sebelumnya, X n  Transition probability dari sistem sediaan ini adalah: Pengisian tidak dilakukan Pengisian dilakukan

25  Dengan S=2, s=0  Pada i=1 di akhir periode n, terdapat kemungkinan j=-1, 0, 1 di akhir periode n+1  Perhitungan peluang transisi: i=1 Akhir Periode nDemand Akhir Periode n+1 j=1 j=0 j=-1

26  Pada i=2 di akhir periode n, terdapat kemungkinan j= 0, 1, 2 di akhir periode n+1  Dengan cara perhitungan peluang transisi yang sama seperti pada i=1

27 i=0 Akhir Periode nDemand Akhir Periode n+1 j=0+2-0=2 j=0+2-1=1 j=0+2-2=0  Pada i=0 di akhir periode n, terdapat kemungkinan j= 0, 1, 2 di akhir periode n+1  Pada i=0 terjadi pengisian stok, menjadi 2 unit di awal periode n+1  Dengan cara perhitungan peluang transisi:

28  Pada i=-1 di akhir periode n, terdapat kemungkinan j= -1, 0, 1 di akhir periode n+1  Dengan cara perhitungan peluang transisi: i=-1 Akhir Periode nDemand Akhir Periode n+1 j=-1+3-0=2 j=-1+3-1=1 j=-1+3-2=0

29  Dengan matriks peluang transisi selengkapnya:

30  Pelanggan datang dan menunggu di pemberhentian taxi  Taxi datang setiap 5 menit  Jika dalam kurun waktu 5 menit ada pelanggan datang, taxi yang datang segera melayani 1 pelanggan yang datang paling awal, pelanggan selainnya menunggu di antrian (kedatangan 5 menit berikutnya)  Jika dalam kurun waktu 5 menit tidak ada pelanggan datang, taxi segera berangkat kembali Contoh Rantai Markov Pada Sistem Antrian

31  Waktu pengamatan dibagi setiap periode 5 menit,  Akhir periode adalah pada saat kedatangan taxi  Pengamatan X n :  Jumlah pelanggan yang menunggu di antrian pada awal periode n  Dengan kemungkinan state: 0, 1, 2, …  Dalam satu periode terdapat beberapa kemungkinan jumlah pelanggan yang datang, dengan ξ n dengan sebaran peluang: k menunjukkan kemungkinan jumlah pelanggan yang datang, k = 0, 1, 2, …

32  Jumlah pelanggan di awal periode n+1 (X n+1 ) tergantung pada:  Jumlah pelanggan di awal periode sebelumnya (X n )  Jumlah pelanggan yang datang di periode n, ( ξ n )  Dengan peluang transisi jika X n >0:

33  Jika X n =0, pada periode n taksi tidak melayani siapapun:  Jika X n =1, pada periode n taksi melayani satu penumpang ini, selainnya menunggu untuk periode berikutnya:  Jika X n =2: Dst untuk i yang lainnya

34  Dengan matriks peluang tansisi selengkapnya


Download ppt "Proses Stokastik Semester Ganjil 2013/2014 DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google