Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

 Contoh  Perhatikan banyaknya kelahiran di suatu tempat pada suatu hari. Bila X t adalah banyaknya kelahiran pada (0,t) dengan t  [0,1440], maka.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: " Contoh  Perhatikan banyaknya kelahiran di suatu tempat pada suatu hari. Bila X t adalah banyaknya kelahiran pada (0,t) dengan t  [0,1440], maka."— Transcript presentasi:

1

2

3  Contoh  Perhatikan banyaknya kelahiran di suatu tempat pada suatu hari. Bila X t adalah banyaknya kelahiran pada (0,t) dengan t  [0,1440], maka kumpulan dari X t adalah proses stokastik.

4 Definisi  Proses Markov adalah proses stokastik yang mempunyai sifat bahwa jika nilai X t telah diketahui, maka X s di mana s > t tidak dipengaruhi oleh X u di mana u < t.  Definisi tersebut memiliki arti bahwa fenomena masa datang hanya dipengaruhi oleh fenomena masa sekarang dan tidak dipengaruhi oleh masa lalu.  Rantai Markov dengan waktu diskret (Diskret Time Markov Chain) adalah suatu proses markov dengan waktu diskret dan X t memiliki nilai diskret.

5 Secara matematis Proses Markov dapat dinyatakan sebagai berikut: P(X n+1 =j| X 1 = i 1, X 2 =i 2, …, X n =i n ) = P(X n+1 =j|X n = i n ) X n = j artinya rantai markov pada waktu n berada pada state j. Peluang X n+1 berada pada state j jika X n berada pada state i dilambangkan dengan

6 Peluang ini juga dinamakan peluang transisi satu langkah (one-step transition probability) dan secara matematis dapat dinyatakan sebagai berikut  P(X n+1 =j|X n =i). Bila peluang transisi satu langkah bebas terhadap peubah waktu n, maka rantai markov mempunyai peluang transisi yang stasioner atau = P ij

7 Secara umum, peluang transisi diatur dalam suatu matriks yang dinamakan matriks peluang transisi. Baris ke – i+1 dari P adalah sebaran peluang dari nilai X n+1 dibawah kondisi X n = i. Jika banyaknya state terhingga maka P adalah matriks kuadrat terhingga

8 Nilai P ij memenuhi kondisi P ij  0 untuk semua i dan j dan untuk i = 0, 1, 2, …

9 Jika matriks peluang transisi P dan sebaran peluang X 0 diketahui, maka perilaku dari rantai markov dapat diketahui. Pernyataan ini akan ditunjukkan dalam penjelasan berikut: Misalkan diketahui matriks peluang transisi dan P(X 0 =i) = p i, maka kita dapat mencari P(X 0 =i 0, X 1 =i 1, X 2 = i 2, …, X n =i n ) Berdasar definisi peluang bersyarat kita dapatkan P(X 0 =i 0, X 1 =i 1, X 2 = i 2, …, X n =i n ) =P(X n =i n | X 0 =i 0, X 1 =i 1, X 2 = i 2, …, X n-1 =i n-1 )  P(X 0 =i 0, X 1 =i 1, X 2 = i 2, …, X n-1 =i n-1 )

10 Berdasar definisi rantai markov kita dapatkan P(X 0 =i 0, X 1 =i 1, X 2 = i 2, …, X n =i n ) = P(X n =i n | X n-1 =i n-1 )  P(X 0 =i 0, X 1 =i 1, X 2 = i 2, …, X n-1 =i n-1 ) = P(X 0 =i 0, X 1 =i 1, X 2 = i 2, …, X n-1 =i n-1 ) Melalui induksi akan kita dapatkan P(X 0 =i 0, X 1 =i 1, X 2 = i 2, …, X n =i n ) =

11 Analisis dari rantai markov berpusat pada perhitungan peluang kemungkinan realisasi proses yang mungkin. Perhitungan ini berpusat pada matriks peluang transisi n langkah P (n) =. melambangkan peluang proses pindah dari state i ke state j dalam n langkah. Secara formal dapat dinyatakan sebagai =P(X m+n =j|X m =i).

12 Sifat Markov memungkinkan kita menyatakan dalam theorema berikut Theorema Peluang transisi n langkah dari rantai markov memenuhi Di mana Dari teori matriks, maka persamaan dalam teorema ini adalah rumus untuk perkalian matriks, sehingga P (n) = P  P (n-1). Dengan mengiterasikan rumus ini kita dapatkan Dengan kata lain, peluang transisi n langkah adalah isi matriks P n.

13 Matriks Peluang Transisi Reguler Misalkan P (matriks peluang transisi) mempunyai sifat jika dipangkatkan k, P k mempunyai elemen yang semuanya positif, maka P dikatakan reguler Rantai Markov yang reguler memiliki limiting probability distribution  = (  0,  1, …,  N ); di mana  j >0 dan =1 dan sebaran ini bebas dari state awal

14 Untuk matriks peluang transisi yang regular,j = 0, 1, …, N Contoh Rantai Markov regular dengan matriks peluang transisi Mempunyai limiting probability distribution 0 1

15 Contoh numerik dapat ditunjukkan, misalkan rantai markov memiliki matriks peluang transisi Beberapa pangkat pertama dari P adalah Limiting distribution-nya adalah b/(a+b) = dan a/(a+b) =

16 Untuk semua matriks peluang transisi dengan state 0, 1, 2, …,N yang memenuhi dua kondisi berikut adalah regular  Untuk setiap pasang state i,j, terdapat path (jalur) k 1, k 2, …, k r di mana P ik1 P k1k2... P krj >0  Terdapat minimal satu state di mana P ii >0

17 Theorema Misalkan P adalah matriks peluang transisi suatu rantai markov regular dengan state 0, 1, 2, …, N, maka limiting probability distribution  =(  0,  1,  2, …,  N ) adalah solusi unik dari sistem persamaan berikut  =  P dan

18 Bila diketahui rantai markov dengan matriks peluang transisi 012 Carilah limiting probability distributionnya!

19 =P=P Sehingga kita memiliki persamaan, yaitu Solusi dari sistem persamaan di samping adalah  0 = 0.077,  1 = 0.625,  2 = 0.298

20 Sehingga limiting probability distribution-nya adalah


Download ppt " Contoh  Perhatikan banyaknya kelahiran di suatu tempat pada suatu hari. Bila X t adalah banyaknya kelahiran pada (0,t) dengan t  [0,1440], maka."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google