Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

LOGO Proses Poisson Hasih Pratiwi. 2 Pendahuluan Rantai Markov waktu diskrit Proses Stokastik Rantai Markov waktu kontinyu Rantai Markov Proses kelahiran.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "LOGO Proses Poisson Hasih Pratiwi. 2 Pendahuluan Rantai Markov waktu diskrit Proses Stokastik Rantai Markov waktu kontinyu Rantai Markov Proses kelahiran."— Transcript presentasi:

1 LOGO Proses Poisson Hasih Pratiwi

2 2 Pendahuluan Rantai Markov waktu diskrit Proses Stokastik Rantai Markov waktu kontinyu Rantai Markov Proses kelahiran dan kematian Proses Poisson PROSES POISSON

3 3 Review  Proses Poisson adalah proses kelahiran murni dengan n = untuk n0 dan  n =0 untuk n0  Dari persamaan Kolmogorov backward: P 0j ’(t) = P 1j (t) - P 0j (t) P ij ’(t) = P i+1,j (t) - P ij (t), untuk semua i>0 diperoleh: P ij (s) = e -s (s) j-i /(j-i)! Proses Poisson

4 4 Sistematika 1. Counting process 2. Poisson process 3. Poisson point process 4. Poisson point process dimensi dua Proses Poisson

5 5 Counting process  Proses stokastik {N(t), t0} adalah counting process jika N(t) menyatakan banyaknya peristiwa yang terjadi sampai dengan t.  Jika T n adalah waktu antara peristiwa ke-(n-1) dan ke-n maka {T n, n=1,2,…} merupakan waktu antar kedatangan (inter-arrival times).  S n =  i=1 n T i, n1 adalah waktu kedatangan (arrival time) peristiwa ke-n atau waktu tunggu (waiting time) peristiwa ke-n.  Counting process mempunyai independent increments jika banyaknya peristiwa yang terjadi antara waktu s dan t, N(t) – N(s), independen dari banyaknya peristiwa yang terjadi sampai dengan s.  Counting process mempunyai stationary increments jika distribusi banyaknya peristiwa yang terjadi dalam sembarang interval hanya bergantung pada panjang interval. Proses Poisson

6 6 T 1 T 2 T  Suatu fungsi dikatakan o(h) (order h atau “little oh” h) jika  Counting process {N(t), t0} adalah proses Poisson dengan rate >0 jika memenuhi 1. N(0) = 0 2. {N(t), t0} mempunyai independent increments 3. {N(t), t0} mempunyai stationary increments 4. P(N(t+h)-N(t)=1) = h + o(h) P(N(t+h)-N(t)2) = o(h) peristiwa t Proses Poisson

7 7  Kondisi 3 dan 4 ekuivalen dengan banyaknya peristiwa dalam sembarang interval dengan panjang t berdistribusi Poisson dengan rate t: P{N(t+s) – N(s) = n} = (t) n e –t /n!, n=0,1,2,… t N(t)N(t) T2T2 T1T1 T3T3 T4T4 S1S1 S2S2 S3S3 S4S4 Waktu antar kedatangan T 1, T 2, … merup. v.r. berdistribusi eksponensial dengan mean 1/: P(T i >t) = P(N(t) =0) = e -t Waktu kedatangan peristiwa ke-n (waktu tunggu peristiwa ke-n) berdistribusi gamma Proses Poisson

8 8 Compound Poisson process  Counting process {X(t), t  0} adalah compound Poisson process jika dengan {N(t), t  0} adalah proses Poisson dan {Y i, i = 1,2, …} v.r. iid dan independen dengan {N(t), t  0}.  Dengan sifat N(t) diperoleh  Contoh: Misalkan klaim yang terjadi pada suatu perusahaan asuransi berdistribusi Poisson dan Y k adalah nilai klaim ke-k. Maka X(t) =  Y k menyatakan besarnya klaim kumulatif sampai dengan t. Proses Poisson

9 9 Proses Poisson nonhomogen  Proses Poisson nonstasioner atau nonhomogen dengan fungsi intensitas (t), t  0 adalah counting process {N(t), t  0} yang memenuhi 1. N(0) = 0 2. {N(t), t0} mempunyai independent increments 3. P{N(t+h)-N(t)2} = o(h) 4. P{N(t+h)-N(t)=1} = (t)h + o(h) Proses Poisson

10 10 Poisson point process  The Law of Rare Events: Jika suatu peristiwa terjadi dalam sejumlah kemungkinan dengan probabilitas terjadinya peristiwa tsb kecil, maka total banyaknya peristiwa yang terjadi mendekati distribusi Poisson P(X=k) = k e - /k!, k=0,1,…  Misalkan N((s,t]) merupakan v.r. banyaknya peristiwa yang terjadi selama interval (s,t]. Maka N((s,t]) adalah Poisson point process dengan intensitas >0 jika 1. untuk setiap m=2,3,… dan titik2 waktu t 0 =0

11 11 Poisson point process t ab N((a,b]) = 3 Proses Poisson

12 12 Contoh Plot data gempa tektonik di Jawa dan Bali (BMG, 2000) (Magnitude +: M≤5,5, ∆: 5,5 6,5) Proses Poisson

13 13 Poisson point process  Misalkan S adalah suatu himpunan dalam ruang dimensi n dan A keluarga subset S. Suatu point process dalam S adalah proses stokastik N(A) yang terindeks oleh himpunan2 A dalam A dan mempunyai nilai integer nonnegatif {0,1,2, …}. N(A): banyaknya titik dalam A  Misalkan S subset real, bidang dimensi 2 atau ruang dimensi 3, A keluarga subset S, dan untuk sembarang A A misalkan |A| menyatakan ukuran (panjang, luas, atau volume) A. {N(A): A  A } adalah homogeneous Poisson point process dengan intensitas >0 jika 1. untuk setiap A A, v.r. N(A) berdistribusi Poisson dengan parameter |A| 2. untuk setiap koleksi berhingga {A 1,A 2,…,A n } dari subset S yang saling asing, v.r. N(A 1 ), N(A 2 ),…, N(A n ) independen. Proses Poisson

14 14 Compound & marked Poisson process  Misalkan X(t) proses Poisson dengan rate >0, setiap peristiwa dalam proses Poisson berkaitan dengan variabel random yang menyatakan nilai, biaya atau harga. Y 1, Y 2, … diasumsikan v.r. independen dengan fungsi distribusi bersama G(y) = P{Y k  y}. Compound Poisson process adalah proses nilai kumulatif yang didefinisikan oleh Z(t) =  k=1 X(t) Y k Marked Poisson process adalah barisan pasangan (W 1,Y 1 ), (W 2,Y 2 ), … dengan W 1, W 2, … adalah waktu tunggu atau waktu kejadian dalam proses Poisson X(t). Proses Poisson

15 15 Marked Poisson process t y w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 Y1Y1 Y2Y2 Y3Y3 Proses Poisson

16 16 Data gempa: Plot magnitude vs waktu Proses Poisson

17 17 Poisson point process  Misalkan =(x,y) adalah fungsi nonnegatif yang terdefinisi pada daerah S pada bidang (x,y). Untuk setiap AS, misalkan (A) =  A (x,y) dx dy adalah volume A. Nonhomogeneous Poisson point process dengan fungsi intensitas (x,y) adalah point process {N(A);A S} yang memenuhi 1. untuk setiap A S, v.r. N(A) berdistribusi Poisson dengan mean (A) 2. untuk subset A 1,…, A m dari S yang saling asing, v.r. N(A 1 ),…, N(A m ) independen. Homogeneous Poisson point process: (x,y) = untuk semua x, y. Proses Poisson

18 18 Poisson point process Teorema(Taylor & Karlin, 1994) Misalkan (W 1,Y 1 ), (W 2,Y 2 ), … adalah marked Poisson process dengan W 1, W 2, … adalah waktu tunggu atau waktu kejadian dalam proses Poisson dengan rate dan Y 1, Y 2, … v.r. kontinu berdistribusi identik dan independen dengan fungsi densitas probabilitas g(y), maka (W 1, Y 1 ), (W 2, Y 2 ), … membentuk Poisson point process nonhomogen dimensi dua dalam bidang (t,y). Rata-rata banyaknya titik dalam suatu daerah A adalah  A =   A g(y) dy dt. Proses Poisson

19 LOGO


Download ppt "LOGO Proses Poisson Hasih Pratiwi. 2 Pendahuluan Rantai Markov waktu diskrit Proses Stokastik Rantai Markov waktu kontinyu Rantai Markov Proses kelahiran."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google