Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Ruang-n Euclides  Orang yang pertama kali mempelajari vektor-vektor di R n adalah Euclides sehingga vektor-vektor yang berada di ruang R n dikenal sebagai.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Ruang-n Euclides  Orang yang pertama kali mempelajari vektor-vektor di R n adalah Euclides sehingga vektor-vektor yang berada di ruang R n dikenal sebagai."— Transcript presentasi:

1 Ruang-n Euclides  Orang yang pertama kali mempelajari vektor-vektor di R n adalah Euclides sehingga vektor-vektor yang berada di ruang R n dikenal sebagai vektor Euclides sedangkan ruang vektornya disebut ruang n–Euclides.  Operasi-operasi vektor-vektor di R 4 dan seterusnya masih sama seperti pada vektor-vektor di R 2 dan R 3.

2 Operasi-Operasi Standar pada ruang vektor Euclides Misal dan vektor di R n, maka 1. Penjumlahan 2. Perkalian dengan skalar (k adalah konstanta sebarang) 3. Hasil kali titik 4. Panjang vektor 5. Jarak dua titik

3 Ruang vektor umum uv  Misalkan u,v, dan w adalah unsur pada ruang V dan k, l merupakan skalar unsur bilangan Riil, maka agar V dinamakan ruang vektor jika memenuhi syarat berikut ini: 1.Jika u, v ε V maka u + v ε V juga. (ε = ‘ada’) 2. u + v = v + u 3. u + (v + w) = (u + v) + w 4.Terdapat 0 di V sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk setiap vektor u di V 5.Untuk setiap u di V, terdapat –u di V yang dinamakan negatif u sehingga u + (–u) = (–u) + u = 0 6.Jika k adalah sebarang skalar dan u ε V, maka ku ε V 7. k (u + v)= ku + k v 8.(k+l) u = ku + lu 9. (kl) u = k(lu) = l (ku) 10.1.u = u

4 Beberapa contoh ruang vektor umum Beberapa contoh Ruang Vektor adalah sebagai berikut : 1.V adalah himpunan vektor Euclides dengan operasi standar (operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar). Notasinya R n 2.V adalah himpunan polinom pangkat n dengan operasi standar Bentuk umum polinom orde n p n (x) = a 0 +a 1 x+…+a n x n q n (x) = b 0 +b 1 x+…+b n x n Operasi standar pada polinom orde n p n (x)+q n (x) = a 0 +b 0 +a 1 x+b 1 x+…+a n x n +b n x n kp n = ka 0 +ka 1 x+…+ka n x n Notasi untuk ruang vektor ini adalah P n 3.V adalah himpunan matriks berukuran m x n dengan operasi standar (penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan skalar), ruang vektor ini sering dinotasikan dengan M mxn

5 Sub Ruang  Subhimpunan W dari sebuah ruang vektor V dinamakan subruang V jika W itu sendiri adalah ruang vektor yang tertutup terhadap operasi penambahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada V. Dengan demikian, syarat agar W dikatakan sebagai subruang dari V adalah: 1. W  {} 2.Jika u dan v berada pada W maka u + v juga berada pada W 3.Jika u berada di W maka ku juga berada di W, dimana k adalah suatu skalar Riil.

6 Kombinasi Linear  Sebuah vektor dinamakan kombinasi linear dari vektor – vektor vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk :, jika vektor – Contoh dimana k 1, k 2, …, k n adalah skalar. 1. Diketahui Apakah u = (2,6,4) merupakan kombinasi linear dari vektor – vektor di atas!

7 Contoh Lainnya 2. Diketahui p 1 = 1 – x + 3 x 2, p 2 = x – x 2, dan p 3 = 2 + x + 4 x 2. Apakah p = 2 + 6x + 4x 2 merupakan kombinasi linear dari vektor – vektor di atas! 3. Diketahui Apakah vektor – vektor di atas! merupakan kombinasi linear dari

8 Membangun  Himpunan vektor dikatakan membangun suatu ruang vektor V jika setiap vektor pada ruang vektor V selalu dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor – vektor di S.

9 Bebas Linear Jika selain nol ada solusi lain, maka S dinamakan himpunan tak bebas linear (linearly dependent), ini dapat dikatakan bahwa vektor-vektornya yang bergantung linear.  Misalkan adalah himpunan vektor diruang vektor V, himpunan S dikatakan bebas linear (linearly independent), jika SPL homogen : hanya mempunyai satu solusi (tunggal), yakni k 1 = 0, k 2 = 0, …, k n = 0

10 Basis dan Dimensi Jika V adalah sembarang ruang vektor dan dari vektor – vektor di V, maka S dinamakan basis bagi V jika kedua syarat berikut dipenuhi : 1.S membangun V 2.S bebas linear merupakan himpunan berhingga Dimensi adalah banyaknya unsur penyusun basis

11 Basis Ruang Baris dan Ruang Kolom Suatu matriks berukuran m x n dapat dipandang sebagai susunan bilangan yang tersusun dari bilangan dalam kolom 1 sampai kolom n atau dalam baris 1 sampai baris m. Jadi Maka A tersusun atas vektor-vektor baris atau tersusun atas vektor-vektor kolom dengan i =1,2,…,m dan j = 1,2, …, n Subruang R n yang dibangun oleh vektor-vektor baris disebut ruang baris dari A. Subruang R m yang dibangun oleh vektor-vektor kolom disebut ruang kolom dari A.

12 Menentukan Basis Ruang Kolom dan Ruang Baris A Basis ruang kolom A didapatkan dengan melakukan OBE pada A, Sedangkan basis ruang baris A didapatkan dengan melakukan OBE pada A t. Basisnya adalah vektor-vektor kolom atau vektor-vektor baris yang bersesuaian dengan satu utama pada matriks eselon baris tereduksi A. Dimensi adalah banyaknya unsur basis yang mana ditentukan oleh banyaknya satu utama pada matriks eselon baris tereduksi A Dimensi (ruang baris)=Dimensi (ruang kolom)=rank matriks

13 Basis Ruang Solusi Pada suatu sistem persamaan linear homogen A x = 0 dengan solusi tak trivial dan A berukuran mxn, ruang solusi dari SPL homogen tersebut biasa disebut dengan ruang null A Sedangkan dimensi dari ruang null A disebut nullitas A. Basis ruang solusinya adalah vektor yang bebas linear yang diperoleh dari ruang null A. Hubungan rank(A) dan Nullitas(A) rank (A) + Nullitas (A) = n


Download ppt "Ruang-n Euclides  Orang yang pertama kali mempelajari vektor-vektor di R n adalah Euclides sehingga vektor-vektor yang berada di ruang R n dikenal sebagai."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google