Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

BAB VII RUANG VEKTOR UMUM (lanjutan). 7.5 Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null Definisi Untuk suatu matriks m x n vektor-vektor r 1 = [a 11 a 12 …

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "BAB VII RUANG VEKTOR UMUM (lanjutan). 7.5 Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null Definisi Untuk suatu matriks m x n vektor-vektor r 1 = [a 11 a 12 …"— Transcript presentasi:

1 BAB VII RUANG VEKTOR UMUM (lanjutan)

2 7.5 Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null Definisi Untuk suatu matriks m x n vektor-vektor r 1 = [a 11 a 12 … a 1n ] r 2 = [a 21 a 22 … a 2n ] ⋮ r m = [a m1 a m2 … a mn ] pada R n yang dibentuk dari baris-baris A disebut sebagai vektor baris (row vector) dari A, dan vektor-vektor

3 pada R m yang dibentuk dari kolom-kolom A disebut sebagai vektor kolom (column vector) dari A. Contoh 7.7 Vektor-vektor baris dari A adalah Vektor-vektor kolom dari A adalah

4 Definisi Jika A adalah suatu matriks m x n, maka subruang dari R n yang direntang oleh vektor-vektor baris dari A disebut ruang baris (row space) dari A, dan subruang dari R m yang direntang oleh vektor-vektor kolom disebut ruang kolom (column space) dari A. Ruang solusi dari sistem persamaan yang homogen Ax = 0 yang merupakan subruang dari R n disebut ruang null (null space) dari A. Teorema Suatu sistem persamaan linier Ax = b adalah konsisten jika dan hanya jika b berada pada ruang kolom dari A.

5 Contoh 7.8 Misal Ax = b adalah sistem linier Tunjukkan bahwa b berada pada ruang kolom dari A dan nyatakan b sebagai suatu kombinasi linier dari vektor-vektor kolom dari A. Penyelesaian Dengan menyelesaikan sistem persamaan linier didapat x 1 = 2, x 2 = –1, x 3 = 3. Karena sistem ini konsisten, maka b berada pada ruang kolom dari A.

6 Matriks sistem persamaan linier dapat ditulis menjadi

7 Teorema Jika x 0 menotasikan solusi tunggal sembarang dari suatu sistem linier konsisten Ax = b, dan jika v 1, v 2, …, v k membentuk suatu basis untuk ruang null dari A, yaitu ruang solusi dari sistem homogen Ax = 0, maka setiap solusi dari Ax = b dapat dinyatakan dalam bentuk: x = x 0 + c 1 v 1 + c 2 v 2 + … + c k v k Vektor x 0 disebut solusi khusus dari Ax = b Vektor-vektor x 0 + c 1 v 1 + c 2 v 2 + … + c k v k disebut solusi umum dari Ax = b Vektor-vektor c 1 v 1 + c 2 v 2 + … + c k v k disebut solusi umum dari Ax = 0

8 Contoh 7.9 Tentukan solusi umum dan khusus dari sistem persamaan linier nonhomogen Ax = b berikut. x 1 + 3x 2 – 2x 3 + 2x 5 = 0 2x 1 + 6x 2 – 5x 3 – 2x 4 + 4x 5 – 3x 6 = –1 5x 3 – 10x 4 – 15x 6 = 5 2x 1 + 6x 2 + 8x 4 + 4x x 6 = –1 Penyelesaian R 2 – 2R 1 R 4 – 2R 1

9 –R 2 R 3 – 5R 2 R 4 – 4R 2 R 3  R 4 R 4  R 3

10 1/6R 3 R 2 – 3R 3 R 1 + 2R 3

11 Sistem persamaan yang bersesuaian dengan matriks diatas adalah: x 6 = 1/3 x 3 + 2x 4 = 0  x 3 = –2x 4 x 1 + 3x 2 + 4x 4 + 2x 5 = 0  x 1 = –3x 2 –4x 4 – 2x 5 Tetapkan nilai-nilai x 2, x 4 dan x 5, yaitu: x 2 = r, x 4 = s, x 5 = t, didapat: x 1 = –3r – 4s – 2t x 3 = –2s

12 atau: x 1 = 0 –3r – 4s – 2t x 2 = 0 + r + 0s + 0t x 3 = 0 + 0r – 2s + 0t x 4 = 0 + 0r + s + 0t x 5 = 0 + 0r + 0s + t x 6 =1/3 + 0r + 0s + 0t Hasil ini dapat ditulis dalam bentuk vektor, yaitu:

13 Solusi umum:

14 Basis Untuk Ruang Null Ruang null adalah ruang solusi dari sistem persamaan linier homogen Ax = 0 yang merupakan subruang dari R n. Contoh 7.10 Tentukan basis untuk ruang null dari Penyelesaian

15 R 1 +R 2 R 2 +R 1 1/3R 2

16 R 3 – R 1 –1/3R 3 R 3 – R 2

17 1/3R 4 R 4 – R 3

18 x 4 = 0 x 3 – 2x 4 + x 5 = 0  x 3 + x 5 = 0  x 3 = –x 5 x 1 + x 2 + x 3 – 3x 4 + 2x 5 = 0  x 1 + x 2 + x 3 + 2x 5 = 0  x 1 + x 2 – x 5 + 2x 5 = 0  x 1 + x 2 + x 5 = 0  x 1 + x 2 = – x 5 Jika ditentukan nilai x 5 = t, maka x 3 = –t Jika ditentukan nilai x 2 = s, maka x 1 = –s –t Basis : (–1, 1, 0, 0, 0), (–1, 0, –1, 0, 1)

19 Basis Untuk Ruang Baris dan Ruang Kolom Jika suatu matriks R berada dalam bentuk eselon baris, maka vektor-vektor baris dgn 1 utama (yaitu vektor-vektor baris tak-nol) membentuk suatu basis untuk ruang baris dari R, dan vektor-vektor kolom dengan 1 utama dari vektor-vektor baris membentuk suatu baris untu ruang kolom dari R. Contoh 7.11 Tentukan basis-basis untuk ruang baris dan ruang kolom dari,

20 Penyelesaian r 1 = [1, –2, 5, 0, 3] r 2 = [0, 1, 3, 0, 0] r 3 = [0, 0, 0, 1, 0] Basis untuk ruang baris dari R adalah vektor-vektor Basis untuk ruang kolom dari R adalah vektor-vektor

21 Contoh 7.12 Tentukan basis-basis untuk ruang baris dan ruang kolom dari, Penyelesaian Reduksi A menjadi bentuk eselon baris,

22 Basis untuk ruang baris dari R adalah vektor-vektor r 1 = [1, –3, 4, –2, 5, 4] r 2 = [0, 0, 1, 3, – 2, –6] r 3 = [0, 0, 0, 0, 1, 5] Basis untuk ruang kolom dari R adalah vektor-vektor Basis untuk ruang kolom dari A adalah vektor-vektor

23 Latihan 1.Nyatakan hasil kali Ax sebagai suatu kombinasi linier dari vektor-vektor kolom dari A. 2.Tentukan, apakah b berada pada ruang kolom dari A. Jika ya, nyatakan b sebagai suatu kombinasi linier dari vektor-vektor kolom dari A. a. b.

24 3. Tentukan basis untuk ruang null dari A. 4. Tentukan basis untuk ruang baris dan ruang kolom dari A pada soal 3.

25 7.6 Rank dan Nulitas Ruang Matriks Dasar Pada matriks A dan A T terdapat 6 ruang vektor utama, yaitu: Ruang baris ARuang baris A T Ruang kolom ARuang kolom A T Ruang nul ARuang nul A T Jika kita amati matriks A dan A T : Ruang baris pada matriks A = ruang kolom matriks A T Ruang kolom pada matriks A = ruang baris matriks A T Sehingga bisa disimpulkan bahwa dari sembarang matriks A dan transposenya, terdapat 4 ruang matriks dasar.

26 Teorema Jika A adalah suatu matriks sembarang, maka ruang baris dan ruang kolom dari A memiliki dimensi yang sama. Definisi Dimensi umum dari ruang baris dan ruang kolom dari suatu matirks A dinyatakan sebai rank(A); dimensi untuk ruang nul dari A disebut sebagai nulitas(A). Contoh 7.13 Tentukan rank dan nulitas dari, Penyelesaian

27 Operasi baris terhadap matriks A didapat matriks dalam bentuk eselon baris berikut. Karena terdapat 2 baris dan 2 kolom yang mengandung 1 utama (leading 1), maka rank(A) = 2 Untuk menentukan nulitas (A), kita harus menentukan ruang solusi dari Ax = 0. Dari matriks eselon baris didapat, x 1 – 4x 3 – 28x 4 – 37x x 6 = 0 x 2 – 2x 3 – 12x 4 – 16x 5 + 5x 6 = 0

28 Sehingga, x 1 = 4x x x 5 – 13x 6 x 2 = 2x x x 5 – 5x 6 x 1 dan x 2 adalah variabel utama x 3, x 4, x 5, x 6 adalah variabel bebas Solusi umum dari sistem persamaan linier adalah, x 6 = r x 5 = sx 4 = tx 3 = u x 2 = 2u + 12t + 16s – 5r x 1 = 4u + 28t + 37s – 13r r, s, t, dan u adalah parameter

29 Jumlah vektor yang membentuk ruang solusi adalah 4 buah vektor, sehingga nulitas(A) = 4 Solusi umum dari sistem persamaan linier dapat ditulis dalam bentuk vektor seperti berikut ini.

30 Teorema Jika A adalah suatu matriks sembarang, maka rank (A) = rank (A T ) Teorema Teorema Dimensi untuk Matriks Jika A adalah suatu matriks dengan n kolom, maka rank (A) + nulitas (A) = n Jumlah Variabel utama Jumlah Variabel bebas + = n

31 Latihan Tentukan rank dan nulitas dari matriks berikut. a. b.


Download ppt "BAB VII RUANG VEKTOR UMUM (lanjutan). 7.5 Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null Definisi Untuk suatu matriks m x n vektor-vektor r 1 = [a 11 a 12 …"

Presentasi serupa


Iklan oleh Google