Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

 Suatu cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar  aljabar abstrak (abstract algebra).  Sistim aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: " Suatu cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar  aljabar abstrak (abstract algebra).  Sistim aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu."— Transcript presentasi:

1

2  Suatu cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar  aljabar abstrak (abstract algebra).  Sistim aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu himpunan obyek, satu atau lebih operasi pada himpunan bersama dengan hukum tertentu yang dipenuhi oleh operasi.  Salah satu alasan yang paling penting untuk mempelajari sistim tersebut adalah untuk menyatukan sifat-sifat pada topik-topik yang berbeda dalam matematika.

3 Definisi II.1 Suatu grup (group) terdiri dari himpunan anggota G bersama dengan operasi biner * yang didefinisikan pada G dan memenuhi hukum berikut :  Hukum tertutup : a * b  G untuk semua a, b  G,  Hukum assosiatif : ( a * b ) * c = a * ( b * c ) untuk semua a, b, c  G,

4 (3) Hukum identitas : terdapatlah suatu anggota e  G sehingga e * x = x * e = x untuk semua x  G, (4) Hukum invers : untuk setiap a  G, terdapatlah a  G sehingga a * a = a * a = e. Biasanya lambang hanya dituliskan G, demikian juga ab artinya a * b dan a -1 adalah lambang untuk invers a.

5 Contoh II.1  Himpunan bilangan bulat Z merupakan grup terhadap operasi +.  Himpunan bilangan asli N bukan grup terhadap operasi +.  Himpunan bilangan kompleks C merupakan grup terhadap operasi +.  Himpunan bilangan real R – {0} merupakan grup terhadap operasi perkalian.  Himpunan bilangan bulat modulo n merupakan grup terhadap operasi penjumlahan modulo n.

6 Sifat-sifat sederhana dalam grup  Dalam pembahasan terdahulu telah dicacat bahwa sebagai akibat definisi grup, sebarang persamaan a * x = b mempunyai penyelesaian dalam suatu grup yaitu x = a * b.  Sifat sifat sederhana yang lain dinyatakan dalam teorema berikut ini.

7 Teorema II.1 Dalam sebarang grup berlaku sifat sifat berikut :  Hukum kanselasi kiri : Jika a x = a y maka x = y.  Hukum kanselasi kanan : Jika x a = y a maka x = y.  Anggota identitas itu tunggal yaitu jika e dan e elemen G yang memenuhi hukum identitas maka e = e.  Invers dari sebarang anggota G akan tunggal yaitu jika a dan b merupakan invers dari x maka a = b.  ( ab) -1 = b -1 a -1

8 Bukti :  1. Diberikan ax = ay. Karena G grup dan a  G maka terdapat a -1 sehingga a a -1 = a -1 a = e dengan e identitas. Akibatnya a -1 (ax) = a -1 (ay) dan dengan menggunakan hukum assosiatif diperoleh (a -1 a)x = (a -1 a)y dan dengan hukum invers diperoleh ex = ey akhirnya dengan hukum identitas x = y

9 3. Karena e suatu anggota identitas maka e e = e. Pada sisi lain e e = e, sehingga e e = e = e. 4. Karena a dan b merupakan invers x maka berlaku xa = e dan xb = e. Karena anggota identitas itu tunggal maka xa = e = xb Akibatnya dengan menggunakan hukum kanselasi kiri maka a = b. 5. Karena ab. b -1 a -1 = a (b b -1 ) a -1 = a e a -1 = a a -1 = e dan b -1 a -1. ab = b -1 (a -1 a)b = b -1 e b = b -1 b = e maka(ab) -1 = b -1 a -1.

10

11 TERIMA KASIH


Download ppt " Suatu cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar  aljabar abstrak (abstract algebra).  Sistim aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google