POLA DAN BARISAN BILANGAN Oleh: Drs. Marsudi Raharjo, M. Sc POLA DAN BARISAN BILANGAN Oleh: Drs. Marsudi Raharjo, M.Sc.Ed Widyaiswara Madya (IV/c) PPPPTK Matematika Yogyakarta MASALAH Apakah sebuah ruas garis dapat membentuk sudut?. Apakah dua buah ruas garis yang titik pangkalnya berimpit dapat membentuk sudut?. Bagainana jika ruas garisnya ditingkatkan menjadi 3, 4, dan 5 ruas garis?. Pasangkan bilangan-bilangan yang mewakili secara urut antara banyaknya ruas garis dengan banyaknya masing-masing sudut yang bersesuaian. A O B C D E 5 ruas garis 0 sudut 1 sudut 3 sudut … sudut, apa sajasebutkan! 4 ruas garis 1

Lanjutan Pola dan Barisan Bil. Banyaknya sinar Banyaknya sudut 1 2 3 4 5 6 … Perhatikan Pasangan 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , . . . 0 , 1 , 3 , … , … , … , . . . Secara umum yang disebut dengan barisan bilangan adalah pasangan antara bilangan asli dengan bilangan-bilangan real dengan aturan tertentu Jika urutan u1 , u2 , u3 , u4 ,, u5 , u6 , . . . dst menyatakan urutan suku-suku dari barisan bilangan Itu, maka pemasangan/korespondensi antara urutan suku-suku dengan barisan bilangannya menjadi seperti berikut. u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 , . . . Disebut urutan suku-suku barisan bilangan. 0 , 1 , 3 , … , … , … , . . . Adalah barisan bilangan yang dimaksud. 2

Rumus Umum Barisan Bil. Banyaknya sinar Banyaknya sudut 1 2 3 4 5 n Dengan melihat pola isian yang ditunjukkan, maka rumus umum suku ke-n brisan bilangan itu adalah: . . . un = 3

Menentukan Rumus Umum Suku ke-n Tanpa Tuntunan Pola Teknik Menentukan Rumus Umum suku ke-n Selidiki beberapa sukunya minimal hingga 4 suku, sebab suatu barisan bilangan akan tertentu dengan tunggal jika 4 suku pertamanya diketahui Selidiki selisih tetap diantara suku-sukunya.Jika selisih tetapnya ditemukan: a. Dalam 1 langkah penyelidikan barisannya berderajat 1 b. Dalam 2 langkah penyelidikan barisannya berderajat 2 c. Dalam 3 langkah penyelidikan barisannya berderajat 3, dst. 3. Lakukan pemisalan: un = an + b untuk barisan berderajat 1 un = an2 + bn + c untuk barisan berderajat 2 un = an3 + bn2 + cn + d untuk barisan berderajat 3, dst. 4

Lanjutan Karena berderajat 2 maka pemisalan rumus umum suku ke-n adalah un = an2 + bn + c u1 = a(1)2 + b(1) + c u1 = a + b + c u2 = a(2)2 + b(2) + c u2 = 4a + 2b + c u3 = a(3)2 + b(3) + c u3 = 9a + 3b + c u4 = a(4)2 + b(4) + c u4 = 16a + 4b + c u5 = a(5)2 + b(5) + c u5 = 25a + 5b + c Selidiki selisih tetapnya u1 u2 u3 u4 u5 a + b + c , 4a + 2b + c , 9a + 3b + c , 16a + 4b + c , 25a + 5b + c , … 3a + b 5a + b 7a + b 9a + b 2a 5

Contoh Jawab Tentukan rumus suku ke-n dari barisan bilangan 0 , 1 , 3 , 6 , 10, 15 , . . . Jawab Perhatikan penyelidikan selisih tetap suku-sukunya 0 , 1 , 3 , 6 , 10 , 15 , . . . 1 2 3 4 5 Ternyata selisih tetapnya dicapai dalam 2 tingkat penyelidikan, maka dapat dipastikan bahwa brisan bilangan itu berderajat 2. 6

Lanjutan Adakan pemasangan/korespondensi antara keduanya a + b + c , 0 , 1 , 3 , 6 , 10 , 15 , . . . 1 2 3 4 5 Akan diperoleh 3 persamaan (i) a + b + c = 0 (ii) 3a + b = 1 (iii) 2a = 1 7

Akhir Penyelesaian Dengan penyelesaian dari (iii) ke (1) maka: (iii) 2a = 1 a = (ii) 3a + b = 1 3( ) + b = 1 1 + b = 1 b = – (i) a + b + c = 0 + + c = 0 c = 0 (– ) Substitusi ke memisalan semula un = an2 + bn + c Akan diperoleh un = n2 – n un = Dengan demikian suku keberapapun dapat ditentukan dengan mudah. 8

Gunakan Rumus Contoh Jawab n = 2000 un = = Tentukan banyaknya sudut yang dibentuk oleh 2.000 ruas garis yang salah satu titik ujungnya bertemu di sebuah titik. Jawab n = 2000 un = = = 1.000 x 1.999 = 1.999.000. 9

Latihan Tentukan rumus suku ke-n dari barisan bilangan yang dibentuk oleh susunan gambar-gambar berikut ini. 1. u1 u2 u3 u4 u5 un = …? u100 = … 4. u1 u2 u3 u4 u5 un = …? u100 = … 5. 2. u1 u2 u3 u4 un = …? u100 = … un = …? u100 = … u1 u2 u3 u4 6. u1 u2 u3 u5 u4 3. u1 u2 u3 u4 u5 un = …? u100 = … un = …? u20 = … Tunjukkan bahwa un = 10

Latihan Lanjutan 7. Pada pemainan Loncat katak disediakan 4 pasang katak warna hitam dan warna putih dengan sebuah titik pemisah diantara masing-masing kelompok. Banyaknya pasangan Banyaknya langkah pemindahan minimal Katak tidak dapat bergerak mundur. Banyaknya langkah untuk saling loncat sehingga posisi kelompoknya berubah untuk 4 pasang ada 24. 1 2 3 4 5 n 3 8 15 24 35 un= ? Tentukan rumus umum suku ke-n dan banyaknya langkah pemindahan minimal jika banyaknya pasangan kataknya 10. 8. JIka u1 = 13 , u2 = 13 + 23 , u3 = 13 + 23 + 33 , u4 = 13 + 23 + 33 + 43 , . . . Buktikan bahwa un = . Tentukan besarnya suku yang ke-20, yakni u20 = … 11

BARISAN DAN DERET ARITMETIKA A. Kontekstual Barisan Aritmetika Awal minggu pertama Ali menabung di celengan Rp5000,00. Awal minggu ke-2 menabung lagi di celengan Rp7000,00 yakni Rp2000,00 lebih banyak dari minggu sebelumnya. Minggu ke-3 dan seterusnya selalu menabung Rp2000,00 lebih banyak dari minggu sebelumnya. Berapa rupiah tabungan yang dimasukkan Ali ke celengan pada minggu ke-5?. Berapa rupiah tabungan yang dimasukkan Ali ke celengan pada minggu ke-40? B. Kontekstual Deret Aritmetika Dari cara menabung di atas berapa rupiah jumlah tabungan Ali di celengan hingga minggu ke-5?. Berapa rupiah rupiah jumlah tabungan Ali ke celengan hingga minggu ke-5?. Berapa rupiah rupiah jumlah tabungan Ali ke celengan hingga minggu ke-40? C. Jawaban yang diharapkan Dengan tuntunan tabel Anak memiliki gambaran untuk menemukan besarnya uang yang ditabung pada tiap minggunya hingga minggu ke-5 dan jumlah uang yang ditabungnya hingga minggu ke-5, tetapi penasaran kalau yang ditanyakan hingga minggu ke-40. 12

Cerita Kontekstual Dibuat Tabel 1 2 3 4 5 Jumlah Tabungan (sn) Menabung di Celengan (un) Minggu ke 2.000 = b Barisan Bilangan Yang bersesuaian hingga minggu ke-5 u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , . . . 5.000 , 7.000 , 9.000 , 11.000 , 13.000 , . . . Deret yang bersesuaian hingga minggu ke-5 S1 = 5.000 S2 = 5.000 + 7.000 = 12.000 S3 = 5.000 + 7.000 + 9.000 = 21.000 S5 = 5.000 + 7.000 + 9.000 + 11.000 + 13.000 = 13.000 Sn = u1 + u2 + u3 + . . . + un 13

PENURUNAN RUMUS BARISAN DAN DERET ARITMETIKA Jika u1 = a, dan beda sukunya b maka u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , . . . , un a , a + b , a + 2b , a + 3b , a + 4b , . . . , a + (n – 1)b Maka: un = a + (n – 1)b Rumus Suku ke-n Jumlah n suku Sn = a + (a + b) + . . . + [a + (n – 2)b] + [a + (n – 1)b] Sn = [a + (n – 1)b] + [a + (n – 2)b + . . . + (a + b) + a + 2Sn = [2a + (n – 1)b] + [2a + (n – 1)b] + . . . + [2a + (n – 1)] + [2a + (n – 1)b] n suku 2Sn = n[2a + (n – 1)b] Sn = n[2a + (n – 1)b 14

Lanjutan un = a + (n – 1)b Sn = n[ 2a + (n – 1)b] Jadi untuk Barisan dan Deret Geometri, rumus umumnya adalah: un = a + (n – 1)b Suku ke-n → Sn = n[ 2a + (n – 1)b] Jumlah n suku pertama → 15