BARISAN BILANGAN KOMPLEKS Disusun Oleh : KELOMPOK 6 Daud Akbar, Fauziah Nurul Hakiqi

Barisan Bilangan kompleks Barisan bilangan kompleks merupakan fungsi yang memetakan setiap bilangan bulat positif n dengan suatu bilangan kompleks.

DEFINISI 1 Diberikan himpunan 𝐴⊆𝐶. Barisan bilangan kompleks suatu fungsi 𝑓 :ℕ→𝐴 yang didefinisikan 𝑓 𝑛 = 𝑧 𝑛 untuk setiap 𝑛 ∈ℕ. Nilai-nilai fungsi 𝑓 dengan 𝑓 𝑛 = 𝑧 𝑛 untuk seetiap 𝑛 ∈ ℕ dapat dinyatakan dengan notasi 𝑓 1 = 𝑧 1, 𝑓 2 = 𝑧 2 , 𝑓 3 = 𝑧 3 , ….., 𝑓 𝑛 = 𝑧 𝑛   Fungsi 𝑓 dengan 𝑓 𝑛 = 𝑧 𝑛 untuk setiap 𝑛 ∈ℕ adalah suatu barisan yang dapat dinyatakan dengan notasi 𝑧 𝑛 ={ 𝑧 1 , 𝑧 2 , 𝑧 3 , …., 𝑧 𝑛 ,….}

Bilangan-bilangan 𝑧 1 , 𝑧 2 , 𝑧 3 , … Bilangan-bilangan 𝑧 1 , 𝑧 2 , 𝑧 3 , …. Disebut suku-suku barisan dan suku 𝑧 𝑛 disebut suku umum (suku ke-𝑛) barisan sebagai contoh, fungsi 𝑓 dengan 𝑓 𝑛 = 𝑖 𝑛 untuk setiap 𝑛 ∈ℕ adalah suatu barisan yang dinotasikan dengan 𝑧 𝑛 = 𝑖, 𝑖 2 , 𝑖 3 , 𝑖 4 , …. ={𝑖, −1, −𝑖, 1, ….}   Yang sering pula dinyatakan dengan { 𝑖 𝑛 }.

DEFINISI 2 Diberikan barisan bilangan kompleks 𝑧 𝑛 . Barisan 𝑧 𝑛 dikatakan konvergen ke 𝑧 jika dan hanya jika untuk setiap bilangan 𝜀>0 terdapat bilangan asli 𝑛 0 sehingga jika 𝑛> 𝑛 0 berlaku 𝑧 𝑛 −𝑧 <𝜀. Bilangan kompleks 𝑧 yang memenuhi definisi diatas disebut limit barisan 𝑧 𝑛 . Notasi barisan 𝑧 𝑛 konvergen ke 𝑧 adalah 𝑧 𝑛 →𝑧 atau lim 𝑛→∞ 𝑧 𝑛 =𝑧

Kekonvergenan Barisan Bilangan Kompleks TEOREMA 1 (Ketunggalan Limit): Jika suatu barisan bilangan kompleks konvergen, maka barisan tersebut mempunyai limit tunggal. Bukti: Andaikan lim 𝑛→∞ 𝑧 𝑛 = 𝑧 1 dan lim 𝑛→∞ 𝑧 𝑛 = 𝑧 2 dengan 𝑧 1 ≠ 𝑧 2 . Diambil bilangan 𝜀= 1 2 𝑧 1 − 𝑧 2 >0 sembarang, terdapat bilangan asli 𝑛 0 sehingga jika 𝑛> 𝑛 0 berlaku 𝑧 𝑛 − 𝑧 1 < 1 2 𝑧 1 − 𝑧 2 dan 𝑧 𝑛 − 𝑧 2 < 1 2 𝑧 1 − 𝑧 2

Diperoleh 𝑧 1 − 𝑧 2 = 𝑧 1 − 𝑧 𝑛 +( 𝑧 𝑛 − 𝑧 2 ) ≤ 𝑧 1 − 𝑧 𝑛 + 𝑧 𝑛 − 𝑧 2 < 1 2 𝑧 1 − 𝑧 2 + 1 2 𝑧 1 − 𝑧 2 = 𝑧 1 − 𝑧 2 Hal ini mustahil terjadi. Ini berarti pengandaian 𝑧 1 ≠ 𝑧 2 salah. Jadi haruslah 𝑧 1 = 𝑧 2 dengan kata lain lim 𝑛→∞ 𝑧 𝑛 tunggal.

Contoh: Selidiki kekonvergenan barisan berikut ini: 1+ 𝑧 𝑛 2𝑛−𝑖 𝑛+2𝑖

1+ 𝑧 𝑛 −1 = 𝑧 𝑛 = 𝑧 𝑛 <𝜀 untuk 𝑛> 𝑧 𝜀 . Penyelesaian: a. Diberikan bilangan 𝜀>0 sembarang. Diperoleh 1+ 𝑧 𝑛 −1 = 𝑧 𝑛 = 𝑧 𝑛 <𝜀 untuk 𝑛> 𝑧 𝜀 .   Jadi terdapat bilangan asli 𝑛 0 > 𝑧 𝜀 sehhingga jika 𝑛> 𝑛 0 berlaku 1+ 𝑧 𝑛 −1 = 𝑧 𝑛 = 𝑧 𝑛 < 𝜀 𝑧 . 𝑧 =𝜀 Jadi barisan 1+ 𝑧 𝑛 konvergen ke 1.

b. Diberikan bilangan 𝜀>0 sembarang b. Diberikan bilangan 𝜀>0 sembarang. Diperoleh 2𝑛−𝑖 𝑛+2𝑖 −2 = 2𝑛−𝑖−2𝑛−4𝑖 𝑛+2𝑖 = −𝑖−4𝑖 𝑛+2𝑖 = −5𝑖 𝑛+2𝑖 = 5 𝑛 2 +4 < 5 𝑛 <𝜀 (𝑠𝑒𝑏𝑎𝑏 𝑛 2 +4 >𝑛) Untuk 𝑛> 5 𝜀 .

Jadi terdapat bilangan asli 𝑛 0 > 5 𝜀 sehingga jika 𝑛> 𝑛 0 berlaku 2𝑛−𝑖 𝑛+2𝑖 −2 = 2𝑛−𝑖−2𝑛−4𝑖 𝑛+2𝑖 = −𝑖−4𝑖 𝑛+2𝑖 = −5𝑖 𝑛+2𝑖 = 5 𝑛 2 +4 < 5 𝑛 <5 . 𝜀 5 =𝜀 Jadi, barisan 2𝑛−𝑖 𝑛+2𝑖 konvergen ke 2.

TEOREMA 2: Diberikan 𝑧 𝑛 = 𝑥 𝑛 + 𝑖𝑦 𝑛 untuk setiap 𝑛∈𝑁 dan 𝑧=𝑥+𝑖𝑦. 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑧 𝑛 =𝑧 jika dan hanya jika 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑥 𝑛 =𝑥 dan 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑦 𝑛 =𝑦 . Bukti: Diberikan bilangan 𝜀>0 diketahui lim 𝑛→∞ 𝑧 𝑛 =𝑧 , berarti terdapat bilangan asli 𝑛 0 sehingga 𝑛>𝑛 0 berlaku

Periksa kekonvergenan barisan 𝑧 𝑛 = 2𝑛 2 −2 𝑛 2 +4 −𝑖 5𝑛 𝑛 2 +4 Contoh 1: Periksa kekonvergenan barisan 𝑧 𝑛 = 2𝑛 2 −2 𝑛 2 +4 −𝑖 5𝑛 𝑛 2 +4 Penyelesaian Namakan 𝑧 𝑛 = 𝑥 𝑛 + 𝑖𝑦 𝑛 dengan 𝑥 𝑛= 2𝑛 2 −2 𝑛 2 +4 dan 𝑦 𝑛= − 5𝑛 𝑛 2 +4 , sehingga diperoleh lim 𝑛→∞ 𝑥 𝑛 = lim 𝑛→∞ 2𝑛 2 −2 𝑛 2 +4 =2 lim 𝑛→∞ 𝑦 𝑛= lim 𝑛→∞ − 5𝑛 𝑛 2 +4 =0 Akibatnya lim 𝑛→∞ 𝑧 𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑥 𝑛 + lim 𝑛→∞ 𝑦 𝑛 =2+𝑖.0=2 Jadi barisan 𝑧 𝑛 = 2𝑛 2 −2 𝑛 2 +4 −𝑖 5𝑛 𝑛 2 +4 konvergen ke 2

Periksa kekonvergenan barisan 𝑧 𝑛 = 𝑛 2 +2 (𝑛−1) 𝑛 3 +5 +𝑖 𝑛 𝑛 3 +3 Contoh 2: Periksa kekonvergenan barisan 𝑧 𝑛 = 𝑛 2 +2 (𝑛−1) 𝑛 3 +5 +𝑖 𝑛 𝑛 3 +3 Penyelesaian Namakan 𝑧 𝑛 = 𝑥 𝑛 + 𝑖𝑦 𝑛 dengan 𝑥 𝑛= 𝑛 3 − 𝑛 2 +2𝑛−2 𝑛 3 +5 dan 𝑦 𝑛= 𝑛 𝑛 3 +3 , sehingga diperoleh lim 𝑛→∞ 𝑥 𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑛 3 − 𝑛 2 +2𝑛−2 𝑛 3 +5 =1 lim 𝑛→∞ 𝑦 𝑛= lim⁡ 𝑛→∞ 𝑛 𝑛 3 +3 =0 Akibatnya lim 𝑛→∞ 𝑧 𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑥 𝑛 + lim 𝑛→∞ 𝑦 𝑛 =1+𝑖.0=1 Jadi barisan 𝑧 𝑛 = 𝑛 2 +2 (𝑛−1) 𝑛 3 +5 +𝑖 𝑛 𝑛 3 +3 konvergen ke 1

Periksa kekonvergenan barisan 𝑧 𝑛 = 𝑛+2 (2𝑛−3) 𝑛 2 +7 +𝑖 4 𝑛 2 𝑛 2 −3 Contoh 3: Periksa kekonvergenan barisan 𝑧 𝑛 = 𝑛+2 (2𝑛−3) 𝑛 2 +7 +𝑖 4 𝑛 2 𝑛 2 −3 Penyelesaian Namakan 𝑧 𝑛 = 𝑥 𝑛 + 𝑖𝑦 𝑛 dengan 𝑥 𝑛= 2𝑛 2 −3𝑛+4𝑛−6 𝑛 2 +7 dan 𝑦 𝑛= 4 𝑛 2 𝑛 2 −3 , sehingga diperoleh lim 𝑛→∞ 𝑥 𝑛 = lim 𝑛→∞ 2𝑛 2 −3𝑛+4𝑛−6 𝑛 2 +7 =2 lim 𝑛→∞ 𝑦 𝑛= lim⁡ 𝑛→∞ 4 𝑛 2 𝑛 2 −3 =4 Akibatnya lim 𝑛→∞ 𝑧 𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑥 𝑛 + lim 𝑛→∞ 𝑦 𝑛 =2+𝑖.4=2+4𝑖 Jadi barisan 𝑧 𝑛 = 𝑛+2 (2𝑛−3) 𝑛 2 +7 +𝑖 4 𝑛 2 𝑛 2 −3 konvergen ke 1+4i

TEOREMA 3: Diberikan barisan bilangan kompleks 𝑧 𝑛 . Barisan 𝑧 𝑛 konvergen jika dan hanya jika untuk setiap bilangan 𝜀>0 sebarang terdapat bilangan asli 𝑛 0 sehingga 𝑚,𝑛> 𝑛 0 berlaku 𝑧 𝑚 − 𝑧 𝑛 <𝜀 Bukti: Diberikan bilangan 𝜀>0 sebarang. Misalkan barisan 𝑧 𝑛 konvergen ke 𝑧, berarti terdapat bilangan asli 𝑛 0 sehingga Jika 𝑛> 𝑛 0 berlaku 𝑧 𝑛 −𝑧 < 𝜀 2 dan jika 𝑚> 𝑛 0 berlaku 𝑧 𝑚 −𝑧 < 𝜀 2 Jadi terdapat bilangan asli 𝑛 0 sehingga jika 𝑚,𝑛> 𝑛 0 berlaku 𝑧 𝑚 − 𝑧 𝑛 = 𝑧 𝑚 −𝑧 +(𝑧− 𝑧 𝑛 ) ≤ 𝑧 𝑚 −𝑧 + 𝑧− 𝑧 𝑛 < 𝜀 2 + 𝜀 2 =𝜀

TEOREMA 4: 𝐽𝑖𝑘𝑎 lim 𝑛→∞ 𝑧 𝑛 =𝑧 𝑑𝑎𝑛 lim 𝑛→∞ 𝑤 𝑛 =𝑤, 𝑚𝑎𝑘𝑎