0leh: Drs. Markaban, M.Si Widyaiswara PPPPTK Matematika TRIGONOMETRI disampaikan pada Diklat Guru Matematika SMK se propinsi DIY DI PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA Presentasi Pembelajaran Matematika Tanggal 28 Oktober s.d 10 Nopember 2007 0leh: Drs. Markaban, M.Si Widyaiswara PPPPTK Matematika

Seorang ingin mengukur tinggi tiang bendera dengan menggunakan klinometer 

Pengalaman Belajar Puncak suatu menara dilihat dari tempat A dengan sudut elevasi 300 dan dilihat dari B dengan sudut elevasi 450 seperti pada gambar. Apabila jarak A dan B adalah 20 meter, berapa tinggi menara tersebut? 300 450 A B 20 m

APA yang terjadi ? Apabila ada beberapa guru memberi tugas pada muridnya sbb: “Segitiga siku-siku ABC mempunyai sisi-sisi AC=4, BC=6 dan AB=8. Tentukan besar sudut A.”

Sekilas ??? Tidak ada yang aneh dalam soal yang diberikan oleh guru tersebut? Murid ya mencoba menghitung besar sudut A dengan terlebih dahulu menghitung nilai Sinus A Guru merasa tak bersalah

Ruang Lingkup 1. Perbandingan Trigonometri suatu sudut 2. Sudut-sudut Istimewa ( Khusus ) 3. Rumus-rumus Trigonometri 4. Koordinat Kartesius dan Kutub 5. Aturan Sinus, Kosinus dan Luas segitiga 6. Identitas Trigonometri 7. Persamaan Trigonometri

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI KONSEP SINUS D E' C B A E B' C' D' Berdasar sifat kesebangunan segitiga siku-siku, maka: Nilai perbandingan yang tetap untuk sudut A tersebut dinamakan sinus sudut A dan dilambangkan dengan sin A

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI KONSEP KOSINUS D E' C B A E B' C' D' Berdasar sifat kesebangunan segitiga siku-siku, maka: Nilai perbandingan yang tetap untuk sudut A tersebut dinamakan kosinus sudut A dan dilambangkan dengan cos A

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI KONSEP TANGEN D E' C B A E B' C' D' Berdasar sifat kesebangunan segitiga siku-siku, maka: Nilai perbandingan yang tetap untuk sudut A tersebut dinamakan tangen sudut A dan dilambangkan dengan tan A

dst

Sudut Khusus 45o sin 45o = ½ V2 V2 1 cos 45o = ½ V2 tan 45o = 1 45o tan 30o = 1/3 V3 2 V3 sin 60o = ½V3 cos 60o = ½ 60o 90o 1 tan 60o = V3

RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI Relasi/Rumus Dasar Fungsi Trigonometri a. Relasi Kebalikan: csc α = sec α = cot α = b. Relasi Pembagian: tan α = cot α = c. Relasi “Pythagoras”: sin2α + cos2α = 1 (dan variasinya) tan2α + 1 = sec2α 1 + cot2α = csc2α

Sudut Berelasi 2. Fungsi trigonometri sudut-sudut yang berelasi a. sin(90 – α)o = cos αo cos(90 – α)o = sin αo tan(90 – α)o = cot αo cot(90 – α)o = tan αo sec(90 – α)o = csc αo csc(90 – α)o = sec αo b. sin(180 – α)o = sin α0 sin(180 + α)o = –sin αo cos(180 – α)o = –cos α0 cos(180 + α)o = –cos αo tan(180 – α)o = –tan α0 tan(180 + α)o = tan αo c. sin(360 – α)o = –sin α0 sin(–αo) = –sin αo cos(360 – α)o = cos α0 cos(–αo) = cos αo tan(360 – α)o = –tan α0 tan(–αo) = –tan αo Bernilai ”+” Sin All Tan Cos

Hal Khusus 1. Jika αo + βo + γo = 180o , maka:   sin(α + β)o = sin(180 – γ)o = sin γo cos(α + β)o = cos(180 – γ)o = –cos γo sin ½ (α + β)o = sin(90 – ½ γ)o = cos ½ γo cos ½ (α + β)o = cos (90 – ½ γ)o = sin ½ γo 2. Jika αo + βo + o = 270o, maka: sin(α + β)o = sin(270 – )o = –cos o cos(α + β)o = cos(270 – )o = –sin o

Koordinat Kartesius dan Kutub Y Y P( x,y ) P( r,  ) x x   y r y  x X o O Koordinat Kutub Koordinat Kartesius

Rumus Trigonometri dalam Segitiga Aturan (rumus) sinus dalam segitiga ABC: 2. Aturan (rumus) kosinus: cos α = atau a2 = b2 + c2 – 2bc cos α b2 = a2 + c2 – 2ac cos β c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ cos β = cos γ =

RUMUS FUNGSI TRIGONOMETRI DUA SUDUT   1. Rumus jumlah sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β – sin α sin β Rumus selisih sin(α – β) = sin α cos β – cos α sin β cos(α – β) = cos α cos β + sin α sin β   2. Rumus sudut rangkap Sin 2α = 2 sin α cos α Cos 2α = cos2α – sin2α   Rumus setengah sudut 2 sin2 ½ α = 1 - cos α 2 cos2 ½ α = 1 + cos α   3. Rumus sudut rangkap tiga Sin 3α = 3 sin α – 4 sin3 α Cos 3α = 4cos3α – 3 cos α

Rumus Jumlah, Selisih, dan Hasil Kali Fungsi Sinus/Kosinus 1. Hasil kali sinus dan kosinus 2 sin α cos β = sin(α + β) + sin(α – β) 2 cos α sin β = sin(α + β) – sin(α – β) 2 cos α cos β = cos(α + β) – cos(α – β) –2 sin α sin β = cos(α + β) – cos(α – β) atau 2 sin α sin β = cos(α – β) – cos(α + β) 2. Jumlah dan Selisih Fungsi Sinus/Kosinus sin A + sin B = 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A – B) sin A – sin B = 2 cos ½ (A + B) sin ½ (A – B) cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B) cos ½ (A – B) cos A – cos B = –2 sin ½ (A + B) sin ½ (A – B)

IDENTITAS TRIGONOMETRI Identitas adalah suatu kalimat terbuka yang bernilai benar untuk setiap pengganti nilai variabelnya, misal : sin2α + cos2α = 1 Buktikan !

Persamaan Trigonometri Sederhana Rumus I : 1). Jika sin x  sin  maka: x   + k. 360 atau x  (180  ) + k. 360 , k  B 2). Jika cos x  cos  maka : x   + k. 360 atau x    + k. 360, k  B 3). Jika tan x  tan  maka : x   + k. 180 k  B

Rumus II : Pada keadaan sama dengan nol 1). Jika sin x  0 maka: x  k.180 , k  B 2). Jika cos x  0 maka: x  90 + k.180 , k  B 3). Jika tan x  0 maka: x  k.180 , k  B

Rumus III : Persamaan mengandung harga negatif 1). Jika sin x  - sin   sin (-) maka: x  -  + k. 360 atau x  (180 + ) + k. 360 , k  B 2). Jika cos x  - cos   cos (180 +  ) maka: x  180 +  + k. 360 atau x  - 180 -  + k. 360 , k  B 3). Jika tan x  - tan   tan (-) maka: x  -  + k. 180 , k  B

Nilai cos A dan tan A berturut-turut adalah .... Diketahui segitiga ABC, siku-siku di C. Panjang sisi AB = 10 cm, sisi BC = 5 cm. Nilai cos A dan tan A berturut-turut adalah .... C B 5 A 10 ? didapat 5V3 Maka diperoleh : sin A = ½ Jadi : cos A = ½ V3 tan A = 1/3 V3

Jarak antara kedua kapal 28 mil Dari sebuah pelabuhan kapal A bertolak dengan kecepatan 10 knot (mil/jam) ke arah 160o dan kapal B ke arah 220o dengan kecepatan 16 knot. Berapa jarak kedua kapal 2 jam kemudian? 160o 220o 60o 20 32 O A B AB2 = 202 + 322 – 2. 20 . 32 . cos 60o = 400 + 1024 – 640 = 784 AB = 28 Jarak antara kedua kapal 28 mil

Soal : 1. Diketahui segitiga ABC, AC = 25 cm, BC = 40 cm, dan panjang garis tinggi dari C, yaitu CD = 24 cm. Nilai cos A dan tan B berturut-turut adalah .... 2. Dua kapal meninggalkan suatu pelabuhan secara bersamaan. Kapal pertama berlayar dengan arah 030° dengan kecepatan 8 km/jam, sedangkan kapal kedua berlayar dengan arah 090° dengan kecepatan 10 km/jam. Jarak kedua kapal itu setelah berlayar 3 jam adalah ... km

C 20 37 B 51 A Berapakah nilai tan A dan sin B? cos A = sehingga cos A = cos B = sehingga sin A =