Matriks Elementer & Invers

Matriks Elementer adalah matriks yang diperoleh dari matriks identitas yang dikenai satu kali OBE. contoh B2 ditukar B3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 I = E = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 2 0 1 0 0 0 1 2xB3+B1 I = E = 1 0 0 1 -3xB2 1 0 0 -3 I = E=

Invers Matriks (2 x 2) Jika A = maka invers matriks A ad – bc = determinan matriks A atau det.A (IAI) Jika ad – bc = 0  matriks tidak mempunyai invers (matriks singular)

Contoh invers matriks A = adalah….

Teorema Invers Matrik (A-1) Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan yang ukurannya sama, maka A B = B A = I  A adalah invers dari B dan B adalah invers dari A Jika B = invers A (di tulis A-1) maka A. A-1 = A-1. A = I (AB)-1 = B-1A-1 A-n = (A-1) n = A-1A-1…A-1 , untuk n = 0, 1, 2, … A-1 dapat dibalik dan (A-1)-1 = A (kA)-1 = 1/k A-1 , untuk setiap skalar k ≠ 0 Tiap-tiap matriks elementer dapat dibalik dan inversnya adalah juga sebuah matriks

Contoh A B = B A = I -5+6 -3+3 -5+6 -15+15 10-10 6-5 2-2 6-5 dan B = A = B x A = A x B = -5+6 -3+3 -5+6 -15+15 = = 10-10 6-5 2-2 6-5 = I = = I = B = invers A (di tulis A-1) maka A. A-1 = A-1. A = I

Contoh (AB)-1 = B-1A-1 1 2 1 3 3 2 2 2 7 6 9 8 1 -1 -1 3/2 3 -2 -1 1 1 2 1 3 3 2 2 2 7 6 9 8 A = B = A B = A-1 = B-1 = 1 -1 -1 3/2 3 -2 -1 1 = = 4 -3 -9/2 7/2 (AB)-1= 1 -1 -1 3/2 3 -2 -1 1 4 -3 -9/2 7/2 B-1A-1 = =

Contoh (A-1)-1 = A Buktikan (A-1)-1 = A 2 -1 -4 3

Invers (Menggunakan OBE) (cont.) OBE yang mengubah I menjadi E Operasi invers (OBE yang mengubah E menjadi I) Kalikan baris ke i dengan c ≠ 0 Kalikan baris ke i dengan 1/c Pertukarkan baris ke i dengan baris ke j Pertukarkan baris ke j dengan baris ke i Tambahkan c kali baris ke i ke baris ke j Tambahkan –c kali baris ke i ke baris ke j

Invers OBE (contoh-1) Carilah A-1 dengan OBE (-2)B1+B2 (-1)B1+B3

Invers OBE (contoh-1) (-1) B3 (-9) B3+B1 3 B3+B2 Jadi,

Invers OBE (contoh-2) Jadi, Carilah A-1 dengan OBE (-1) B1 (-3) B1 + B2 (1/7) B2 2 B2 + B1 Jadi,

Penyelesaian SPL dengan Invers Matriks Jika SPL  A X = B Maka X = A-1 B Contoh Tentukan nilai x dan y dari SPL berikut 2x + y = 5 4x – 5y = 3 Buat matriksnya A X B

Penyelesaian SPL dengan Invers Matriks (½)B1 (-4)B1+B2 (-1/7) B2 (-1/2)B2+B1 X = A-1 B Cari nilai x dan y dengan cara biasa (poin plus)

Penyelesaian SPL dengan Invers Matriks Contoh Jika A = dan B = Tentukan matriks A (2x2) yang memenuhi: A X = B X A = B Cari A-1 terlebih dulu

Penyelesaian SPL dengan Invers Matriks Jika A X = B maka X = A-1.B b. Jika X A = B maka X = B.A-1

Latihan Carilah invers (A-1) dari A = dengan dua cara Tentukan nilai dari X1, X2, dan X3 dengan menggunakan OBE X1 + X2 – X3 = -3 2X1 + X2 + X3 = 4 X1 + 2X2 + X3 = 7