Pertemuan 12 Determinan

Topik Bahasan Determinan Ordo 2 Determinan Ordo 3

Determinan Ordo 2 Sistem Persamaan : a11x1 + a12x2 = b1 Determinan Orde 2 = = a11 a22 – a21 a12

Aturan Cramer : x1 = ; x2 = ( D 0 ) D = ; D1 = ; D2 =

Jika b1 dan b2 adalah nol, system dikatakan homogen Jika b1 dan b2 adalah nol, system dikatakan homogen. Sehingga system ini setidaknya mempunyai “solusi trivial” x1=0, x2=0; Solusi lain ada jika dan hanya jika D=0. Jika setidaknya b1 dan b2 tidak nol, system dikatakan tak homogen. Sehingga jika D ≠ 0, maka system ini mempunyai tepat satu solusi yang diperoleh dari ; x2 = x1 =

Determinan Ordo 3 a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 Sistem Persamaan : Determinan ordo 3, dapat diperoleh dari ordo 2 yang diperoleh dari D dengan cara menghapus satu baris dan satu kolom (disebut minor)

Misalnya : minor elemen a21 dan a22 didalam D adalah :

D = = a11 - a21 + a31 = a11M11 – a21M21 + a31M31 Aturan Cramer : ; x3 = ; x2 = x1 =

D1= D2= D3= Sistem adalah homogen (jika b1= b2= b3=0) maka setidaknya system mempunyai solusi trivial x1= x2= x3=0, dan solusi bukan trivial ada jika D=0

Jika system tidak homogen dan D ≠ 0 maka system mempunyai tepat satu solusi yang dapat diperoleh dari : ; x3 = ; x2 = x1 =

Contoh 1: Penyelesaian dgn menggunakan aturan cramer Sistem persamaan: 2 x1 - x2 + 2 x3 = 2 x1 + 10 x2 - 3 x3 = 5 - x1 + x2 + x3 = -3 Penyelesaian: Determinan system = D =

= 2 - 1 + (-1) = 2 (10 - (-3)) -1 (-1 – 2) + (-1)(3 – 20) D = = = a11M11 – a21M21 + a31M31 = 2 - 1 + (-1) = 2 (10 - (-3)) -1 (-1 – 2) + (-1)(3 – 20) = 2 (13) – 1(-3) + (-1)(-17) = 26 + 3 + 17 = 46

= 2 - 5 + (-3) = 2 (10 - (-3)) -5 (-1 – 2) + (-3)(3 – 20) = a11M11 – a21M21 + a31M31 D1 = = 2 - 5 + (-3) = 2 (10 - (-3)) -5 (-1 – 2) + (-3)(3 – 20) = 2 (13) – 5(-3) + (-3)(-17) = 26 + 15 + 51 = 92

D2 = = 0 X1 = = 2 = - 46 D3 = X2 = 0 = -1 X3 =

Misal : kofaktor dari elemen a21 dan a22 adalah Elemen pada baris ke-1 dan kolom ke-k di dalam D didefinisikan sebagai (-1) i+k kali minor elemen tersebut. Misal : kofaktor dari elemen a21 dan a22 adalah - - dan

Tanda (-1)i+k mengikuti pola berikut : Nilai (-1)i+k Mik dinotasikan : Cik D = a11 M11 – a21 M21 + a31 M31 D = a11 C11 + a21 C21 + a31 C31

Contoh 2 : Jika D = maka: Minor entri adalah = = 12 – (15) = -3 kofaktor entri adalah = = 1.-3 = -3 M11 a11 C11 a11 (-1)1+1

Contoh 2 : Ekspansi kofaktor sepanjang kolom 1 : = (-1)1+1 = (-1)2+1 . -3 = -3 M21 = = (2 – (- 12)) = 14  = (-1)2+1 . 14 = - 14 M31 = = (5 – (-24)) = 29  = (-1)3+1 . 29 = 29 Jadi det(A) = 2 . (-3) + 3 . (-14) + 1.29 = -6 + (-42) + 29 = -19 = a11 c11 + a21 c21 +a31 c31

Contoh 2 : Ekspansi kofaktor sepanjang kolom 2 : = (-1)1+2 = (-1)2+2 . 1 = -1 M22 = = (4 – (-4)) = 8  = (-1)2+2 . 8 = 8 M32 = = (10 – (-12)) = 22  = (-1)3+2 . 22 = -22 Jadi det(A) = 1 . (-1) + 6 . (8) + 3.-22 = -1 + 48 + (-66) = -19 = a12 c12 + a22 c22 +a32 c32

Daftar Pustaka Advanced Engineering Mathematic, chapter 8 Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 1 Edisi 7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 2 Edisi 7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta Noor Ifada. Bahan Kuliah Aljabar Linear