TRIGONOMETRI

Presented by Khabibatul M Siti Wulandari Ilmiawan BU Den Markindo Syamsul Hadi Indah Tri R

STANDART KOMPETENSI 5. Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri dalam pemecahan masalah KOMPETENSI DASAR 5.1 Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri 5.2 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri 5.3 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri, dan penafsirannya

PENGERTIAN TRIGONOMETRI Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.

SUB BAB TRIGONOMETRI SUDUT DAN SATUANNYA NILAI TRIGONOMETRI SUDUT IDENTITAS TRIGONOMETRI RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA

SUDUT DAN SATUANNYA Sudut adalah suatu besaran yang dibangun oleh sinar yang diputar dengan pusat perputaran suatu titik tertentu dari suatu posisi awal ke suatu posisi terminal. Satuan sudut ada dua yaitu : Satuan Derajat Satuan Radian

Besar sudut satu putaran = 360o Berarti, besar sudut SATUAN DERAJAT Besar sudut satu putaran = 360o Berarti, besar sudut o A

SATUAN RADIAN Pada lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari r diketahui panjang busur MN sama dengan panjang jari-jari. Besar sudut θ, yaitu sudut pusat lingkarang yang menghadap ke busur MN, didefinisikan sebagai ukuran satu radian. o θ = 1 rad r N M

Secara umum : o θ = 1 rad r N M S Panjang busur MN = 2πr(keliling lingkaran) berarti sudut MON merupakan sudut satu putaran dan besarnya 2π radian.

Hubungan satuan derajat dan radian Satuan besar sudut dapat menggunakan derajat atau radian. Kedua satuan itu terdapat hubungan yang menarik. Besar sudut 1 putaran = 360o 360o = 2π radian ½ putaran → 180o = π radian Besar sudut 1 putaran = 2π radian 2π radian = 360o ½ putaran → π radian = 180o

NILAI TRIGONOMETRI SUDUT Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku Secara umum, pada segitiga siku-siku yang sebangun, perbandingan sisi-sisi menurut salah satu sudutnya bernilai tetap. Perbandingan antara sepanjang sisi pada segitiga siku-siku yang sebangun itulah yang disebut perbandingan trigonometri. Depan Miring Samping C B A α

Perbandingan trigonomentri pada segitiga ABC : Dari pembahasan di atas, tampak bahwa batasan sudut α adalah 0o < α < 90o

Segitiga ABC siku-siku di B A + B + C = 180o α + 90o + β = 180o SUDUT PENYIKU Segitiga ABC siku-siku di B A + B + C = 180o α + 90o + β = 180o α + β = 90o β = 90o – α jadi, β merupakan sudut penyiku α. C B A α β

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA DALAM SUMBU KARTESIUS Sb y 1. Sinus  = 2. Cosinus  = y r 3. Tangan  =  x Sb x 15

SUDUT ISTIMEWA SUDUT ISTIMEWA Untuk  300 A B C 2 Sin 300 = Cos 300= 600 300 2 1 Sin 300 = Cos 300= Tg 300 = 16

SUDUT ISTIMEWA Untuk  450 1 1 Sin 450 = Cos 450 = Tg 450 = C 450 450 B 1 17

SUDUT ISTIMEWA Untuk  600 A B C 2 Sin 600 = Cos 600 = Tg 600 = 300 1 Sin 600 = Cos 600 = Tg 600 =

KESIMPULAN SUDUT ISTIMEWA  0O 30O 45O 60O 90O Sin 1 Cos Tg  Ctg 19

Hitunglah hasilnya! Sin 30o + Cos 30o + Tan 30o 4 Tan 45o – 2 Cos 60o + Sin 60o Jawab : Sin 30o + Cos 30o + Tan 30o b. 4 Tan 45o – 2 Cos 60o + Sin 60o

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI DI BERBAGAI KUADRAN Sudut di Kuadran I = a Sin bernilai (+) Cos bernilai (+) Tan bernilai (+) Sudut di Kuadran II = β = (180 - a) Hanya Sin bernilai (+) Sudut di Kuadran III =γ =(180 +a ) Hanya Tan bernilai (+) Sudut di Kuadran IV =θ =( 360 -a) Hanya Cos bernilai (+) KUADRAN 2 KUADRAN 1 KUADRAN 4 KUADRAN 3 21

Sudut di Kuadran I Sin ⍺ = ( bernilai positif ) Cos ⍺ = ( bernilai positif ) Tan ⍺ = ( bernilai positif ) Sin ( 90 - ⍺)° = = cos ⍺ Cos ( 90 - ⍺)° = = sin ⍺ Tan ( 90 - ⍺)° = = cotan ⍺

Sudut di Kuadran II Sin ⍺ = ( bernilai positif ) Cos ⍺ = ( bernilai negatif ) Tan ⍺ = ( bernilai negatif ) Sin (180 - ⍺)° = = sin ⍺ Cos(180 - ⍺)° = = - cos ⍺ Tan (180 - ⍺)° = = -tan ⍺

Sudut di Kuadran III Sin ⍺ = (bernilai negatif) Cos ⍺ = (bernilai negatif) Tan ⍺ = (bernilai positif) Sin (180 + ⍺)° = = - sin ⍺ Cos (180 + ⍺)° = = - cos ⍺ Tan (180 + ⍺)° = = tan ⍺

Sudut di Kuadran IV Sin ⍺ = (bernilai negatif) Cos ⍺ = (bernilai positif) Tan ⍺ = (bernilai negatif) Sin (360 - ⍺)° = = - sin ⍺ Cos (360 - ⍺)° = = cos ⍺ Tan (360 - ⍺)° = = - tan ⍺

Rumus Trigonometri Sudut Yang Lebih Besar dari 360o atau Sudut Negatif Segitiga siku-siku OPP’ tidak berubah apabila putaran jarum jam OP diputar satu putaran, baik searah putaran jarum jam maupun berlawanan arah jarum jam. Sehingga nilai perbandingan trigonometri sudut α sama dengan nilai perbandingan trigonometri sudut α + k . 360o di mana k sembarang bilangan bulat positif maupun negative. Jadi, untuk k bilangan bulat berlaku hubungan : Sin α = sin (α + k . 360o) cos α = cos (α + k . 360o) tan α = tan (α + k . 360o)

Hitunglah! Sin 135o – Cos 225o + Tan 240o Jawab : = Sin (180 - 45)o – Cos (180 + 45)o + Tan (180 + 60)o = Sin 45o – (- Sin 45o) + Tan 60o

Identitas Trigonometri

Dua buah fungsi f dan g dikatakan sama identik jika untuk setiap x di mana kedua fungsi didefinisikan. Persamaan seperti di atas disebut suatu identitas.

Identitas berbanding terbalik Identitas hasil bagi

Sifat-sifat periodik

Sifat-sifat genap-ganjil

Identitas Pythagoras

Menunjukkan suatu identitas: dengan berdasarkan dasar-dasar identitas dan sejumlah manipulasi aljabar, ditunjukkan bahwa ruas kiri dan ruas kanan suatu identitas adalah sama.

Ditunjukkan identitas :

Ditunjukkan identitas : http://mediapemb.blogspot.com

Ditunjukkan identitas :

RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA 1. RUMUS LUAS SEGITIGA Perhatikan segitiga ABC berikut. A B C c t b a Apabila alas segitiga adalah BC = a. Maka tinggi segitiga dapat dicari sebagai berikut. Luas segitiga ABC adalah

2. RUMUS SINUS DAN RUMUS COSINUS Perhatikan segitiga ABC berikut. C B A c t b a a. Pada ∆ADC b. Pada ∆BDC Dari (i) dan (ii) diperoleh:

Rumus Cosinus Pada ∆ADC: CD2 = AC2 - AD2 t2 = b2 – (b cos α)2 . . . (iii) b. Pada ∆BDC: CD2 = CB2 – BD2 t2 = a2 – (c – b cos α)2 . . . (iv)

Dari (iii) dan (iv) diperoleh: a2 – (c – b cos α)2 = b2 – b2 cos2 α >> a2 = b2 – b2 cos2 α + (c – b cos α)2 >> a2 = b2 – b2 cos2 α + c2 – 2bc cos α + b2 cos2 α >> a2 = b2 + c2 – 2bc cos α

Secara umum, pda segitig ABC sembarang berlaku rumus sinus dan rumus cosinus sebagai berikut a2 = b2 + c2 – 2bc cos α b2 = a2 + c2 – 2ac cos β c2 = a2 + b2 – 2ab cos λ

SOAL-SOAL LATIHAN

CONTOH SOAL : a = 6, b = 4 dan sudut C = 1200 Tentukan panjang c Pada segitiga ABC, diketahui a = 6, b = 4 dan sudut C = 1200 Tentukan panjang c 45

PENYELESAIAN : c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos C c2 = (6)2 + (4)2 – 2.(6).(4).cos 1200 c2 = 36 + 16 – 2.(6).(4).( – ½ ) c2 = 52 + 24 c2 = 76 c =√76 = 2√19 46

Pada segitiga ABC, diketahui CONTOH SOAL : Pada segitiga ABC, diketahui c = 6, sudut B = 600 dan sudut C = 450. Tentukan panjang b ! 47

PENYELESAIAN : 48