Persamaan Diferensial Biasa 1 Analisa Numerik Persamaan Diferensial Biasa 1
Metode Numerik utk. PDB Persoalan syarat awal order pertama : y’=f(x, y), y(x0) = y0, y ∈ RN, x ∈ [x0, xf] (*) y(xf) = ? Persamaan order ke-p : y(p) = f(x, y, y’, ..., yp-1) Dapat diubah menjadi (dng. y1 = y) y1’ = y2 y2’ = y3 y3’ = y4 ... yp-1’ = yp yp’ = f(x, y1, y2, ..., yp)
Integrasi Numerik dng. Deret Taylor Jk. f dapat diturunkan thd. x maupun y, mk. (*) mempunyai jawab unik jk. kontinu pada [x0, xf]. Kembangkan y(x) ke dlm. deret Taylor di sekitar x = x0 y(x) = y0 + (x – x0)y’(x0) + ((x-x0)2/2!)y’’(x0) + ... Cari turunan y yang lebih tinggi y’ = f(x, y) y’’ = f’ = fx + fyy’ = fx + fyf y’’’ = f’’ = fxx + fxyf + fyxf + fyyf2 + fyfx + fy2f = fxx + 2fxyf + fyyf2 + fxfy + fy2f : y(n) = rumit bentuknya maka (n) dibatasi.
Integrasi Numerik dng. Deret Taylor Misal xn = x0 + nh, n = 0, 1, 2, ... Pada xn misal y(xn) solusi eksak, yn solusi pendekatan. Definisikan Tk(x, y) = f(x, y) + h/2! f’(x, y) + ... + hk-1/k! f(k-1)(x, y) k = 1,2, ... Algoritma Taylor order k Diket. y’ = f(x, y), y(a) = y0, [a, b], y(b) = ? Pilih h = (b-a)/N xn = a + nh, n = 0, 1, ..., N yn+1 = yn + hTk(xn, yn), n = 0, 1, ..., N-1 Metode ini disebut juga metode langkah-tunggal karena hanya memakai satu informasi (di satu titik) Tk(xn, yn) utk. mendapatkan yn+1.
Error
Error Persamaan lokal zn’ = f(x, zn), zn(xn) = zn0 x ∈ [xn, xn+1] = solusi eksak Kesalahan lokal = Kesalahan global = y(xn) - zn Kesalahan lokal metode Taylor order k adalah
Metode Euler k = 1, metode Euler yn+1 = yn + hf(xn, yn) E = (h2/2)y’’() Contoh : y’ = y, y(0) = 1, h = 0.01 y(0.01) y1 = 1 + 0.01 = 1.01 y(0.02) y2 = 1.01 + 0.01(1.01) = 1.0201 y(0.03) y3 = 1.0201 + 0.01(1.0201) = 1.030301 y(0.04) y4 = 1.030301 + 0.01(1.030301) = 1.040606 Dibutuhkan h kecil agar hasil baik untuk metode Euler. Jd. Euler jarang dipakai.