OPTIMASI MULTIVARIABEL Eneng Tita Tosida
Differensial ke-r dari f Jika semua turunan parsial dari f sampai ke-r 1 ada kontinu di titik x* (x* sebagai vektor) maka : sebagai diferensial ke-r dari f di x* (vektor x*)
Deret Taylor f(x) disekitar vektor x* Sisa Jika f(x) mempunyai titik optimum di x = x* dan jika turunan pertama ada, maka : Eneng Tita Tosida
a. x* titik minimum, jika H definit positif Misalkan x* merupakan titik optimum dan H matriks turunan parsial kedua (matriks Hessian) f(x) di x= x* a. x* titik minimum, jika H definit positif b. x* titik maximum, jika H definit negatif c. Lainnya titik pelana atau tidak ada kesimpulan
Contoh Matriks .... 1 11 n a nm
Penjelasan Matriks A definit positif, jika dan hanya jika A1, A2,...An positif Matriks A definit negatif, jika dan hanya jika tanda Aj sama dengan (-1)j untuk j = 1,2,...n. Jika beberapa Aj positif dan lainnya nol matriks A semi definit positif
Lanjutan Bentuk Matriks Hessian Merupakan turunan parsial kedua dari f SD, bentuk kuadratiknya :
Contoh Soal Tentukan titik optimum dari :
Jawaban Syarat perlu untuk titik optimum Jadi Persamaan ini dipenuhi melalui titik (0,0); (0,-8/3); (-4/3,0); (-4/3,-8/3)
Turunan Parsial Kedua
Matriks Hessian
Kesimpulan Titik (x1,x2) J1 J2 J Sifat x f(x) (0,0) 4 32 Definit Positif Min. Lokal 6 (0,-8/3) -32 Titik Pelana 418/27 (-4/3,0) -4 194/27 (-4/3,-8/3) --4 Definit Negatif Max. Lokal 50/3
Latihan Soal 1. Tentukan nilai optimum dari :
Jawaban
Jawaban (Lanjutan)
Jawaban (Lanjutan) ; ; J1 = -8 J2 = 48 – 16 = 32 Titik optimum di (7,9) dan f(7,9) titik max definit negatif
2. Tentukan Matriks Hessian dari f(x) = sin x + sin y
3. Tentukan Matriks Hessian dari f(x,y,z) = x2 + y2 + z2