Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Srikandi Kumadji DOSEN FIA UB. Srikandi Kumadji DOSEN FIA UB.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Srikandi Kumadji DOSEN FIA UB. Srikandi Kumadji DOSEN FIA UB."— Transcript presentasi:

1 Srikandi Kumadji DOSEN FIA UB

2 Srikandi Kumadji DOSEN FIA UB

3 METODE SIMPLEX METODE SIMPLEX

4 Kenyataan yang sering dihadapi oleh para manajer dalam pengambilan keputusan adalah kompleks. Keputusan yang harus diambil tidak hanya untuk 2 variabel saja, bisa saja lebih, sementara metode grafik terbatas hanya 2 dimensi atau paling banyak mencakup 3 variabel. Untuk mengatasi persoalan linier programming yang kompleks jelas menjadi tidak sederhana. Satu cara sederhana (simple) dan efisien yang dapat menyelesaikan persoalan adalah dengan Metode Simplex, di mana metode ini menggunakan tabel yang unik yang sering disebut “Tabel Simplek” METODE SIMPLEKS P E N D A H U L U A N

5 Metode simplek untuk linier programming dikembangkan pertama kali oleh George Dantzing pada tahun 1947, kemudian digunakan juga pada penugasan di Angkatan Udara Amerika Serikat. Dia mendemonstrasikan bagaimana menggunakan fungsi tujuan (iso- profit) dalam upaya menemukan solosi diantara beberapa kemungkinan solosi sebuah persoalan linier programming. METODE SIMPLEK ….lanjt

6 Proses penyelesaiaanya dalam metode simplek, dilakukan secara berulang-ulang ( iterative ) sedemikian rupa dengan menggunakan pola tertentu (standart) sehingga solusi optimal tercapai. Ciri lain dari metode simplek adalah bahwa setiap solusi yang baru akan menghasilkan sebuah nilai fungsi tujuan yang lebih besar daripada solosi sebelumnya. METODE SIMPLEK ….lanjt

7 MENYUSUN SOLUSI AWAL Untuk memperoleh pengertian yang lebih mudah dan cepat, dalam pembahasan ini kita gunakan persoalan yang meliputi 2 variabel riil saja (sekedar untuk cross cek) Dengan menggunakan contoh kasus perusahaan XYZ di muka, penyelesaian dapat dilakukan dengan beberapa langkah : Metode Simplek / Maksimasi

8 Langkah 1. Menyususun Persoalan Dalam Matematik Maksimumkan : TR = 3000 X X 2 Kendala : P : 2 X 1 + X 2 < 30 Q : 2 X X 2 < 60 R : 4 X X 2 < 72 X 1, X 2 > 0 Metode Simplek / Maksimasi

9 Langkah 2. Mengubah Pertidaksamaan menjadi Persamaan Mengandung pengertian : tidak selalu kapasitas SD digunakan seluruhnya, di antaranya masih ada yang tersisa  ada kelonggaran ( slack ) untuk menambah sebuah variabel sehingga menjadi persamaan. Variabel baru ini disebut Variabel Slack Variabel Slack = sejumlah unit kapasitas yang tidak dipakai dalam suatu Departemen/ SD. Metode Simplek / Maksimasi

10 Langkah 2. Mengubah Pertidaksamaan menjadi Persamaan Misal : S P = waktu yang tidak dipakai dlm. Dep. P  S 1 = X 1 - X 2 S Q = waktu yang tidak dipakai dlm. Dep.Q  S 2 = X X 2 S R = waktu yang tidak dipakai dlm. Dep. R  S 3 = X X 2 Atau dari persamaan di atas dapat disusun : 2 X 1 + X 2 + S 1 = 30 2 X X 2 + S 2 = 60 4 X X 2 + S 3 = 72 Metode Simplek / Maksimasi

11 Variabel Slack ini harus dimasukkan dalam fungsi tujuan dan kendala. Koefisien setiap variabel pada kedua fungsi tsb. harus terlihat dengan jelas. Oleh karena itu, untuk variabel yang tidak mempunyai pengaruh terhadap persamaan, koefisiennya harus ditulis dengan “nol”, sehingga tidak merubah hakekatnya. Metode Simplek / Maksimasi

12 Misalkan, karena : S 1,, S 2 dan S 3 tidak menghasilkan TR, S 2, dan S 3 tidak berpengaruh terhadap Dep. P, S 1 dan S 3 tidak berpengaruh terhadap Dep. Q, dan S 1, dan S 2 tidak berpengaruh terhadap Dep. R, maka fungsi tujuan dan kendala dapat ditulis sbb. : TR = 3000 X X S S S 3. P : 2 X 1 + X S S S 3 = 30 Q : 2 X X S S S 3 = 60 R : 4 X X S S S 3 = 72 Metode Simplek / Maksimasi

13 Langkah 3. Memasukkan Fungsi Tujuan dan Kendala ke Tabel Simplek Zj =  aij. Bi Sollusi Awal, belum berproduksi, Zj = 0 Metode Simplek / Maksimasi TR = 3000 X X S S S 3. P : 2 X 1 + X S S S 3 = 30 Q : 2 X X S S S 3 = 60 R : 4 X X S S S 3 = 72

14 MENGEMBANGKAN SOLUSI KEDUA  Solusi awal menunjukkan perusahaan masih belum berproduksi.  Selanjutnya kita akan melakukan perubahan sehingga TR sebagai tujuan tercapai lebih baik.  Jika tabel yang telah diperbaiki masih ada kemungkinan diubah untuk mencapai tujuan yang lebih baik lagi, maka perubahanpun terus berlanjut sampai tercapai solusi yang optimal.  Metode Simplek / Maksimasi

15 MENGEMBANGKAN SOLUSI KEDUA  Tahap-tahap perubahan dari tabel satu ke tabel yang lain disebut “ pivoting ”.  Perhitungan solusi kedua dapat diikuti dengan langkah- langkah berikut ini. Metode Simplek / Maksimasi

16 Langkah 1. Menentukan Variabel Riil yang akan dimasuk- kan dalam solusi ( going in )  Secara rasional, memilih varibel riil yang tepat adalah variabel yang mempunyai kontribusi menambah laba/TR atau mengurangi biaya yang paling besar.  Dengan memilih nilai-nilai baris Cj - Zj pada kolom variabel riil yang terbesar, mengindikasikan adanya peningkatan laba/TR yang lebih baik.  Metode Simplek / Maksimasi

17 Langkah 1. Menentukan Variabel Riil yang akan dimasuk- kan dalam solusi ( going in )  Oleh karena Nilai Cj - Zj untuk kedua kolom variabel riil X 1 dan X 2 sama, maka bisa kita pilih salah satu.  Misalnya saja, kita tentukan kolom X 2, maka kolom X 2 tersebut dinamakan “kolom optimum”, yang bakal pertamakalinya masuk dalam kolom variabel basis. Metode Simplek / Maksimasi

18 Langkah 2. Menentukan Variabel yang akan diganti ( going out )  Pertama kali, kita membagi nilai-nilai dalam kolom variabel basis dengan nilai-nilai pada kolom optimum, dan kemudian hasil bagi-hasil bagi tersebut kita pilih yang paling kecil.  Baris yang mempunyai nilai “Ri” terkecil bakal diganti atau dikeluarkan dari variabel basis. Baris S 1 : 30 / 1 = 30 Baris S 2 : 60 / 3 = 20  dikeluarkan Baris S 3 : 72 / 3 = 24 Metode Simplek / Maksimasi

19 Langkah 2. Menentukan Variabel yang akan diganti ( going out )  Baris S 1 : 30 / 1 = 30 Baris S 2 : 60 / 3 = 20  dikeluarkan Baris S 3 : 72 / 3 = 24 Elemen-elemen (nilai) pada basis S 1, S 2 dan S 3 di bawah kolom optimum, disebut elemen interseksi- onal, yang akan berperan dalam perhitungan nilai nilai pada tabel berikutnya. Metode Simplek / Maksimasi

20 Langkah 1 : menentukan kolom optimum (going in) Langkah 2 : menentukan baris optimum (going out) Aplikasi Langkah 1 dan Langkah 2

21 Menentukan / Menghitung : - Nilai baris baru yang lain : NBBL= NBL  (N Intsek x NBBM) Baris Sp : 30  ( 1 x 20) = 10 2  ( 1 x 2 / 3 ) = 1 1 / 3 1  ( 1 x 1) = 0 1  ( 1 x 0) = 1 0  ( 1 x 1/3) = - 1 / 3 0  ( 1 x 0) = 0 - Nilai baris baru yang masuk : NBBM = NBL : N Insek : 60/3 = 20 ; 2/3 = 2/3 ; 3/3 = 1; 0/3 = 0 ; 1/3 = 1/3; 0/3 = 0 Baris Sr : 72  ( 3 x 20) = 12 4  ( 3 x 2 / 3 ) = 2 3  ( 3 x 1) = 0 0  ( 3 x 0) = 0 0  ( 3 x 1 / 3 ) = -1 1  ( 3 x 0) = 1

22 MENGEMBANGKAN SOLUSI KETIGA Menentukan / Menghitung : - Kolom optimum : pilih nilai Cj - Zj yang terbesar - Baris yang diganti : Pilih nilai Ri yang terkecil Ri = nilai Q / kolom optimum - Nilai baris baru yang masuk : NBBM = NBL : N Insek : 12/2 = 6 ; 2/2 =1 ; 0/2 = 0; 0/2 = 0; -1/2 = - 0,5; 1/2 = 0,5 - Nilai baris baru yang lain : NBBL= NBL  (N Intsek x NBBM) Baris Sp : 10  (1,33 x 6) = 2 1,33  (1,33 x1) = 0 0  (1,33 x 0) = 0 1  (1,33 x 0) = 1 - 0,33  (1,33 x -0,5) = 0,33 0  (1,33 x 0,5) = Baris B : 20  (0,67 x6) = 16 0,67  (0,67 x 1) = 0 1  (0,67 x 0) = 1 0  (0,67 x 0) = 0 0,33  (0,67 x - 0,5) = 0,67 0  (0,67 x 0,5) = NILAI-NILAI Cj - Zj < 0  SOLUSI OPTIMAL

23 INTERPERTASI EKONOMI TABEL SIMPLEK Nilai 2 pada Kolom Q Tabel 3 : Baris Sp = 2 (Sisa Sbrdaya P) Baris X2 = 16 (Jml Prdksi X2) Baris X1= 6 (Jml Prdksi X1) Baris Zj = (TR max.) Nilai 2 pada Baris Cj-Zj di bawah kolom variabel riil menunjukkan nilai produk marginal : Jika positif menunjukkan kemungkinan tambahan TR jika variabel riil ditambah 1 unit Jika negatif menunjukkan pengurangan TR jika variabel riil ditambah 1 unit Nilai 2 Negatif pada Baris Cj-Zj di bawah kolom variabel Slack : menunjukkan tambahan TR yg dapat dicapai jika ditambahkan 1 jam lagi pada departemen diwakili variabel slack Nilai 2 di baris Zj menggambarkan berkurangnya TR (oportunity cost) akibat tambahan 1 unit kegiatan riil atau disposal Anga-angka dalam kwadran matrik (input-output) atau diberi simbul a ij menunjukkan MRTS atau Koefisien Teknologi antara kegiatan pada kolom dengan sbrdaya pada baris.

24 INTERPERTASI EKONOMI TABEL SIMPLEK Nilai 2 pada Kolom Q Tabel 3 : Baris Sp = 2 (Sisa Sbrdaya P) Baris X2 = 16 (Jml Prdksi X2) Baris X1= 6 (Jml Prdksi X1) Baris Zj = (TR max.) Nilai 2 pada Baris Cj-Zj di bawah kolom variabel riil menunjukkan nilai produk marginal : Jika positif menunjukkan kemungkinan tambahan TR jika variabel riil ditambah 1 unit Jika negatif menunjukkan pengurangan TR jika variabel riil ditambah 1 unit Nilai 2 Negatif pada Baris Cj-Zj di bawah kolom variabel Slack : menunjukkan tambahan TR yg dapat dicapai jika ditambahkan 1 jam lagi pada departemen diwakili variabel slack Nilai 2 di baris Zj menggambarkan berkurangnya TR (oportunity cost) akibat tambahan 1 unit kegiatan riil atau disposal Angka-angka dalam kwadran matrik (input-output) atau diberi simbul a ij menunjukkan MRTS atau Koefisien Teknologi antara kegiatan pada kolom dengan sbrdaya pada baris.

25 CONTOH : PERUSAHAAN PNT Perusahaan Nutrisi Ternak (PNT) khusus menghasilkan makanan campuran sebagai makanan tambahan, mendapat pesanan makanan campuran "141-B" dengan ukuran/paket 200 pon. Makanan Campuran tersebut terdiri dari dua bahan ramuan, yaitu P (sumber protein) dan C (sumber karbohidrat). Biaya bahan protein sebesar $ 3 per pon, sedang bahan karbohidrat sebesar $ 8 per pon. Dalam makanan campuran itu kandungan Protein (P) tidak boleh melebihi 40 % dan kandungan bahan Carbohidrat (C) paling tidak tersedia 30 %. Persoalan PNT adalah menetapkan berapa banyak masing- masing bahan digunakan agar biaya minimal. FORMULASI MATEMATIKA PERSOALAN ( IDENTIFIKASI) Minimumkan : Cost = $ 3X 1 + $ 8X 2 Kendala : X 1 + X 2 = 200 pon X 1 < 80 pon X 2 > 60 pon X 1 dan X 2 > 0 Metode Simplek / Minimasi

26 CONTOH : PERUSAHAAN PNT Perusahaan Nutrisi Ternak (PNT) khusus menghasilkan makanan campuran sebagai makanan tambahan, mendapat pesanan makanan campuran "141-B" dengan ukuran/paket 200 pon. Makanan Campuran tersebut terdiri dari dua bahan ramuan, yaitu P (sumber protein) dan C (sumber karbohidrat). Biaya bahan protein sebesar $ 3 per pon, sedang bahan karbohidrat sebesar $ 8 per pon. Dalam makanan campuran itu kandungan Protein (P) tidak boleh melebihi 40 % dan kandungan bahan Carbohidrat (C) paling tidak tersedia 30 %. Persoalan PNT adalah menetapkan berapa banyak masing- masing bahan digunakan agar biaya minimal. FORMULASI MATEMATIKA PERSOALAN ( IDENTIFIKASI) Minimumkan : Cost = $ 3P+ $ 8C Kendala : P + C = 200 pon P < 80 pon C > 60 pon P dan C > 0 Metode Simplek / Minimasi

27 SOLUSI AWAL Merubah persamaan dan pertidaksamaan pada kendala - Untuk tanda Persamaan ( = ) harus ditambah dengan variabel Artifisial (A) - Untuk Pertidaksamaan”lebih besar sama dengan” ( > ) harus dikurangi variabel surplus (S) dan ditambah variabel Artifisial (A) - Untuk Pertidaksamaan kurang sama dengan ( < ) harus ditambah variabel slack (S) Untuk Kendala : X 1 + X 2 = 200  X 1 + X 2 + A 1 = 200 X 1 < 80  X 1 + S 1 = 80 X 2 > 60  X 2  S 2 + A 2 = 60 Metode Simplek / Minimasi

28 SOLUSI AWAL Koefisien teknologi (parameter) masing-masing variabel, secara ekplisit harus ditulis, dengan ketentuan yang tidak ada pengaruhnya ditulis nol Nilai biaya untuk variabel Artifisial diberi nilai yang sangat besar (M), dan untuk variabel Slack/Surplus = 0 Secara lengkap : Minimize: Cost = 3 X X 2 + 0S 1 + 0S 2 + MA 1 + MA 2 X 1 + X 2 + A 1 = 200 X 1 + S 1 = 80 X 2  S 2 + A 2 = 60 X 1, X 2, S 1, S 2, A 1, A 2 > 0 Metode Simplek / Minimasi

29 SOLUSI TABEL SIMPLEK Metode Simplek / Minimasi

30 SOLUSI TABEL SIMPLEK Metode Simplek / Minimasi

31 DUALITAS ANTARA MAKSIMASI dan MINIMASI Untuk setiap permasalahan optimasi yang mempunyai kendala/pembatas, akan terdapat “permasalahan dual”, yaitu dengan memaksimasi atau meminimasi fungsi ken- dala dan fungsi tujuan sebelumnya menjadi kendalanya. Hubungan ini disebut sebagai dualitas ( duality ) Permasalahan yang pertama disebut dengan “primal” dan permasalahan kedua disebut dengan “dual”. Jadi misalnya, jika permasalahan primalnya adalah maksimasi tujuan dengan kendala tertentu, maka sekarang menjadi dual, yaitu minimasi kendala dengan kendalanya adalah fungsi tujuannya. Demikian sebaliknya, jika permasalahan primalnya adalah minimasi tujuan dengan kendala tertentu, maka sekarang menjadi maksimasi kendala dengan fungsi tujuan sebagai kendalanya.

32 Dengan demikian dalam sebuah pemodelan Pemrograman Linear, terdapat dua konsep yang saling berlawanan. Konsep yang pertama kita sebut Primal dan yang kedua Dual.Bentuk Dual adalah kebalikan dari bentuk Primal. Hubungan Primal dan Dual sebagai berikut: Masalah Primal (atau Dual) Masalah Dual (atau Primal) Koefisien fungsi tujuan …………… Nilai kanan fungsi batasan Maksimumkan Z (atau Y) ………… Minimumkan Y (atau Z) Batasan i …………………………… Variabel yi (atau xi) Bentuk 0 Bentuk = …………………………… yi > dihilangkan Variabel Xj ……………………….. Batasan j Xj > 0 ………………………………. Bentuk < Xj > 0 dihilangkan ………………… Bentuk =

33 Contoh 1: Primal Minimumkan Z = 5X 1 + 2X 2 + X 3 Fungsi batasan: 1) 2X 1 + 3X 2 + X 3 > 20 2) 6X 1 + 8X 2 + 5X 3 > 30 3) 7X 1 + X 2 + 3X 3 > 40 X1, X2, X3 > 0 Dual Maksimumkan Z ’ = 20Y Y Y 3 Fungsi batasan: 1)2Y 1 + 6Y 2 + 7Y 3 < 5 2)3Y 1 + 8Y 2 + Y 3 < 2 3) Y 1 + 5Y 2 + 3Y 3 < 1

34 CONTOH : ( Ek. Mikro) Maksimumkan : Q = L. C Kendala : 1200 = 30L + 40C L dan C optimum = ? Jawab Slope Isoquant = Slope Budget Line  MPL / MPC =  PL / PC  C / L =  30 / 40 C = 3 / 4 L 1200 = 30L + 40 ( 3 / 4 L ) 1200 = 60L Jadi : L = 20 dan C = 15 Q max. = 20 x 15 = 300 Minimumkan : B = 30L + 40C Kendala : 300 = L. C L dan C optimum = ? Jawab Slope Isoquant = Slope Budget Line d C / d L =  PL / PC  300 / L 2 =  30 / 40 L 2 = 400 Jadi : L = (400) 1/2 = 20 dan C = 15 B min. = 30(20) + 40 (15 ) = 1200 PRIMALDUAL

35 CONTOH : USAHA KATERING (RANGSUM) Kasus Primal sebuah usaha kesehatan dalam rangka membuat susunan rangsum dari berbagai bahan makanan dengan biaya murah adalah sbb. : Minimumkan : Z = 150X X X X X 5 Kendala : Protein : 8,3 X X ,2 X 3 + 5,2 X 4 + 2,01 X 5 > 70 Karbohidrat : 5 X X X 3 + 3,1 X X 5 > 3000 Lemak : 0,4 X X ,8 X 3 + 0,6 X 4 + 0,16 X 5 > 800 Vitamin : 6 X X ,6 X 3 + 6,8 X 4 + 2,05 X 5 > 40 Zat Besi : 24,9 X X X ,4 X 4 + 0,57 X 5 > 12 Dimana : X 1 = Nasi X 4 = Buah X 2 = Sayur X 5 = Susu X 3 = Lauk pauk Buatlah model Dual persoalan di atas, dan selesaikan !

36 JAWAB : Maksimumkan : Z’ = 70Y Y Y Y Y 5 Kendala : X 1 : 8,3 Y 1 + 5,0 Y 2 + 0,4 Y 3 + 6,0 Y ,9 Y 5 < 150 X 2 : 246 Y Y Y Y Y 5 < 100 X 3 : 17,2 Y Y ,8 Y ,6 Y Y 5 < 350 X 4 : 5,2 Y 1 + 3,1 Y 2 + 0,6 Y 3 + 6,8 Y ,4 Y 5 < 250 X 5 : 2,01 Y Y 2 + 0,16 Y 3 + 2,05 Y 4 + 0,57 Y 5 < 320 Y 1, Y 2, Y 3, Y 4, Y 5 > 0

37 SOLUSI

38

39 Soal N0. 8 Perusahaan mebel Jati Indah memproduksi meja dan kursi dari sumberdaya tenaga kerja dan kayu. Perusahaan memiliki kapasitas terbatas untuk tenaga kerja 80 jam perhari dan 36 Kg kayu perhari. Permintaan atau penjualan kursi terbatas 6 kursi per hari. Untuk memproduksi satu unit kursi memerlukan 8 jam tenaga kerja dan 2 Kg kayu, sedang setiap satu meja memerlukan 10 jam tenaga kerja dan 6 Kg kayu. Laba yang diperoleh untuk setiap meja sebesar Rp dan untuk setiap kursi sebesar Rp Perusahaan ingin menetapkan jumlah meja dan kursi yang harus dijual agar memperoleh laba maksimum. a. Formulasikan model LP untuk persoalan ini. b. Selesaikan persoalan ini dengan analisis grafik.

40 SOAL N0. 8

41 Soal N0.12 Perusahaan Kimia Farma memproduksi sebuah obat dengan ramuan dua bahan. Setiap bahan berisi tiga antibiotik yang sama tapi berbeda dalam proporsinya. Satu gram bahan 1 menyumbangkan 3 unit dan bahan 2 menyumbangkan1 unit antibiotik 1; obat membutuhkan 6 unit. Sedikitnya 4 unit antibiotik 2 dibutuhkan, dan per gram bahan masing- masing menyumbang 1 unit. Paling sedikit 12 unit antibiotik 3 diperlukan; satu gram bahan 1 menyumbang 2 unit, dan satu gram bahan 2 menyumbang 6 unit. Biaya per gram bahan 1 dan bahan 2 masing- masing Rp dan Rp Kimia Farma ingin memformulasikan model LP untuk menetapkan jumlah (gram) ma-sing-masing bahan yang harus digunakan dalam pembuatan obat agar biaya campuran antibiotik itu serendah mungkin. a. Formulasikan model LP untuk persoalan ini. b. Selesaikan persoalan ini dengan menggunakan analisis grafik.

42

43

44

45

46 KASUS Obat

47 KASUS Usaha Ternak Min. TC = 60A + 100K Stc. Pr : 20 A + 40 K > 30 Lm : 2 A + 0,5 K > 1 Prod. : 1 A + 1 K < 1 A, K,> 0 SdAKkap Slac k Pr2040 > 30 0 Lm20,5 > 1> 1> 1> 10 Prod11 < 1< 1< 1< 10,07 Solusi0,360,57 TC21,4357,1478,57 78,571 43

48 KASUS Della & Pandu Mak. L = 2C + 2T Stc. K : 8 C + 6 T < 120 Tom : 3 C + 6 T < 90 B : 3 C + 2 T < 45 Prod : 1 C + 1 T < 24 C, T > 0 SdCTkapSlack K86 < Tom36 < 90 0 B32 < 45 3 Prod11 < 24 6 Solusi612 Laba ,571 43

49 KASUS Untitled Mak. L = 3 X + 2 Y Stc. A : 3 X + 2 Y < 120 F : 1 X + 2 Y < 80 Pro X : 1 X + 0 Y > 10 Pro Y : 0 X + 1 Y > 10 X, Y > 0 SdXYkapS A32 < F12 < 80 26,67 Pro X 1- > 10 13,33 Pro Y -1 > 10 0 Solusi33,3310 Laba

50


Download ppt "Srikandi Kumadji DOSEN FIA UB. Srikandi Kumadji DOSEN FIA UB."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google