Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Kalkulus I Oleh : Epha Diana Supandi, M.Sc. Pokok Bahasan  Sistem Bilangan Real  Pertaksamaan dan Nilai Mutlak  Fungsi Real  Limit Fungsi  Kekontinuan.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Kalkulus I Oleh : Epha Diana Supandi, M.Sc. Pokok Bahasan  Sistem Bilangan Real  Pertaksamaan dan Nilai Mutlak  Fungsi Real  Limit Fungsi  Kekontinuan."— Transcript presentasi:

1 Kalkulus I Oleh : Epha Diana Supandi, M.Sc

2 Pokok Bahasan  Sistem Bilangan Real  Pertaksamaan dan Nilai Mutlak  Fungsi Real  Limit Fungsi  Kekontinuan Fungsi  Limit Tak Hingga  Bentuk tak tentu Limit Fungsi  Aplikasi Turunan (Masalah maksimum, minimum, laju, nilai ekstrim, kemonotonan, kecekungan, asimtotik, menggambar grafik)

3 Daftar Referensi  Martono, K Kalkulus. Erlangga.Jakarta  Purcell, Edwin J Kalkulus edisi 8. Erlangga. Jakarta  Leithod,L The Calculus with Analytic Geometry.Harper and Row Publisher. New York.

4 Sistem Penilaian  UTS = 30%  UAS = 30%  Tugas = 20%  Tugas Kelompok= 20%

5 Pendahuluan  Untuk mempelajari kalkulus diperlukan berbagai sifat bilangan real dan fungsi. Konsep utama kalkulus tentang limit, kekontinuan, turunan, differensial dan integral dikaitkan dengan fungsi real sebagai obyeknya.  Dalam kalkulus bilangan real diperlukan untuk dapat memberi ruang gerak pada berbagai operasinya  Pada perrtemuan 1, dipelajari sistem bilangan real, pertaksamaan, nilai mutlak dan fungsi yang merupakan pengetahuan dasar untuk mempelajari konsep limit fungsi.

6 Sistem Bilangan Real Sistem Bilangan : himpunan dari bilangan – bilangan beserta sifat2nya. Himpunan Bilangan Asli (N) = {1, 2, 3, …} Himpunan Bilangan Cacah = {0, 1, 2, 3, … } Himpunan Bilangan Bulat (Z) = { …,-3,-2,-1,0,1,2,3, …} Himpunan Bilangan Rasional (Q) : Suatu bilangan yang dinyatakan p/q dengan p dan q bilangan bulat dan q ≠ 0 Himpunan Bilangan Irrasional : bilangan yang tidak dapat dinyatakan ke bentuk rasional Himpunan Bilangan Real : Gabungan himpunan bilangan rasional dengan himpunan bilangan irrasional.

7 Sistem Bilangan Bil Real Bil Rasional Bil Bulat Bil Asli

8 Selang Suatu himpunan bagian dari himpunan bilangan real. Penulisan HimpunanSelangGrafik {x| a < x < b}(a,b) {x| a ≤ x < b }[a, b) {x | a < x ≤ b }(a, b] {x| a ≤ x ≤ b }[a, b] {x | x ≤ b }(-∞, b] {x | x < b }(-∞, b) {x | a ≤ x }[a, +∞) {x | a < x }(a, +∞) ab ab a b a b b b a a

9 Pertaksamaan Bentuk Umum Pertaksamaan :  Himpunan semua bilangan real x yang memenuhi pertaksamaan (yaitu bila digantikan ke pertaksamaan menghasilkan pernyataan yang benar)

10 Prosedure Baku menyelesaikan pertaksamaan adalah : 1. Ubahlah bentuk menjadi : dengan P dan Q adalah suku banyak 2. Uraikan P dan Q atas faktor linear dan/atau kuadrat definit positif 3. Tentukkan tanda pertaksamaan pada garis bilangan 4. Tentukan himpunan jawabnya dan tampilkan dalam bentuk selang

11 Nilai Mutlak Nilai mutlak dari bilangan real x, ditulis |x|, didefinisikan sebagai berikut :

12 Sifat-sifat Nilai Mutlak 1. Untuk setiap bilangan real x berlaku a) |x|  0 b) |x| = |- x| c) - |x| ≤ x ≤ |x| d) |x| 2 = |x 2 | = x 2 2. Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku : a) |x| = |y| ↔ x = ± y ↔ x 2 = y 2 b) |x – y | = |y – x |

13 Sifat-sifat Nilai Mutlak 3. Jika a  0, maka a) |x| ≤ a ↔ -a ≤ x ≤ a ↔ x 2 ≤ a b) |x|  a ↔ x  a atau x ≤ - a ↔ x 2  a 2 4. Ketaksamaan segitiga. Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku : a) |x + y| ≤ |x| + |y| b) |x – y| ≤ |x| + |y| c) |x| - |y| ≤ |x – y | d) | |x| - |y| | ≤ |x – y |

14 Sifat – sifat nilai mutlak 5. Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku: a) |xy| = |x| |y| b) |x/y| = |x| / |y|; y ≠ 0

15 FUNGSI Definisi  Fungsi f adalah suatu aturan korespodensi yang menghubungkan tiap obyek x dalam suatu himpunan (daerah asal) dengan sebuah nilai unik (tunggal) f(x) dari himpunan kedua yaitu himpunan nilai yang disebut daerah hasil fungsi tersebut.

16 Jenis – jenis Fungsi  Fungsi linier  Fungsi kuadrat  Fungsi trigonometri  Fungsi eksponential  Fungsi logaritma

17 Fungsi linier Fungsi linear memiliki gambar grafik sebagai garis lurus. Notasinya adalah sbb: y = f(x) = a 1 x + a 0 ; a1 ≠ 0 contoh : y = 4x + 3 a 1 disebut gradien atau koefisien kemiringan

18 Fungsi kuadrat Grafik bentuk kuadrat berupa parabola, dimana bentuk rumusnya adalh: y = f(x) = a 2 x 2 + a 1 x +a 0 ; a 2 ≠ 0 Contoh : y = x 2 – 4x + 3

19 Fungsi Eksponential Persamaan umum fungsi eksponen : y = f(x) = a x ; a > 0, a ≠ 1

20 Fungsi Logaritma  Fungsi ligaritma didefinisikan dengan persamaan : y = f(x) = log a x, a > 0, a ≠ 1  Fungsi ini terdefiniskan untuk x > 0, dan merupakan invers dari fungsi eksponen.

21 Operasi Fungsi 1. Jumlah dan Selisih Misalkan f dan g adalah sebuah fungsi, maka : (f + g) (x) = f(x) + g(x) (f – g) (x) = f(x) – g(x) catatan : Daerah asal (f + g) dan (f - g) adalah irisan dari daerah asal f dan g

22 Operasi Fungsi 2. Hasil kali, Hasil Bagi dan Pangkat Dengan anggapan bahwa f dan g mempunyai daerah asal, maka (f g) (x) = f(x) g(x) (f/g) (x) = f(x) / g(x) ; g(x) ≠ 0 Operasi perpangkatan pada dasarnya adalah perkalian berulang. f n artinya f kali f sebanyak n kali.

23 Komposisi Fungsi 3. Komposisi fungsi bisa diibaratkan sebagai dua fungsi yang berurutan artinya fungsi yang kedua dioperasikan setelah setelah fungsi yang pertama bekerja. Komposit g dengan f, dinyatakan oleh (g◦f) Jadi (g◦f) (x) = g (f(x)) dan (f ◦ g) (x) = f(g(x))


Download ppt "Kalkulus I Oleh : Epha Diana Supandi, M.Sc. Pokok Bahasan  Sistem Bilangan Real  Pertaksamaan dan Nilai Mutlak  Fungsi Real  Limit Fungsi  Kekontinuan."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google