Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Bilqis1 Pertemuan 3 2010. bilqis2 Cara membuktikan Sub-bab 1.5.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Bilqis1 Pertemuan 3 2010. bilqis2 Cara membuktikan Sub-bab 1.5."— Transcript presentasi:

1 bilqis1 Pertemuan

2 bilqis2 Cara membuktikan Sub-bab 1.5

3 bilqis3 Terminologi: 1.Teorema: pernyataan yang dapat dibuktikan kebenarannya Ex : Bumi adalah bulat 2.Argumen: rangkaian pernyataan yang membentuk bukti 3.Aksioma: pernyataan yang digunakan dalam suatu bukti, yang kebenarannya bisa diasumsikan, diketahui, atau telah dibuktikan sebelumnya 4.Aturan penentuan kesimpulan (rule of inference): cara menarik kesimpulan dari pernyataan-pernyataan sebelumnya 5.Lemma: teorema sederhana yang digunakan dalam membuktikan teorema lain

4 bilqis4 Terminologi: 1.Corollary: proposisi yang merupakan akibat langsung dari teorema yang dibuktikan Ex : jika 3 sisi pada segitiga mempunyai panjang yang sama, maka segitiga itu juga mempunyai sudur yang sama 2.Conjecture: pernyataan yang nilai kebenarannya belum diketahui

5 bilqis5 Aturan penentuan kesimpulan: Addition : (p)  (p v q) Simplification: (p  q)  (p) Conjunction: ((p)  (q))  (p  q) Modus ponens: (p  (p  q))  (q) Modus tollens: (  q  (p  q ))  (  p) Hypothetical syllogism: ((p  q)  (q  r ))  (p  r) Disjunctive syllogism: ((p v q)  (  p))  (q) Resolution: ((p v q)  (  p v r))  (q v r)

6 bilqis6 Contoh: Addition : (p)  (p v q) Hari ini Jumat Hari ini Jumat atau kita sedang belajar Simplification: (p  q)  (p) Hari ini Jumat dan tadi pagi Ayah menelepon Hari ini Jumat Conjunction: ((p)  (q))  (p  q) Hari ini Jumat Tadi pagi Ayah menelepon Hari ini Jumat dan tadi pagi Ayah menelepon P P v q P ^ q P q P ^ q

7 bilqis7 Modus ponens: (p  (p  q))  (q) Saya haus Jika saya haus, maka saya minum air Saya minum air Modus tollens: (  q  (p  q ))  (  p) Jika saya haus, maka saya minum air Saya tidak minum air Saya tidak haus P P  q q P  q ~ q ~ P

8 bilqis8 Hypothetical syllogism: ((p  q)  (q  r ))  (p  r) Jika hari ini cerah, maka saya akan pergi Jika saya akan pergi, maka saya harus mengambil uang Jika hari ini cerah, maka saya harus mengambil uang Disjunctive syllogism: ((p v q)  (  p))  (q) Kemarin hari Selasa atau besok hari Senin Kemarin hari Kamis Besok hari Senin P  q Q  r P  r P v q ~ p q

9 bilqis9 Resolution / Resolusi : ((p v q)  (  p v r))  (q v r) q v r disebut resolvent P v q ~ p v r Q v r

10 bilqis10 Dari Bab 1  ekivalen Kontrapositif  –P  q ekivalen dengan ~ q  ~ p P  q ekivalen dengan ~ p v q

11 bilqis11 Kesalahan menentukan kesimpulan (fallacies) Fallacy of confirming the conclusion: Jika hari ini cerah, maka saya akan pergi Saya akan pergi Hari ini cerah Fallacy of denying the hypothesis: Jika besok hari Sabtu, maka saya akan pulang Besok hari Kamis Saya tidak jadi pulang P  q q P P  q ~ p ~ q Kesimpulan salah, karena  tidak ada dalam aturan yang 8

12 bilqis12 Contoh: soal Rossen halaman 73 no. 3 Construct an argument using rules of inference to show that the hypothesis Randy works hard If Randy works hard, then he is a dull boy If Randy is a dull boy, then he will not get the job imply the conclusion Randy will not get the job

13 bilqis13 Contoh: soal Rossen halaman 73 no. 3 r: Randy works hard d: Randy is a dull boy j: Randy will not get the job Randy works hard r (1) If Randy works hard, then he is a dull boy r  d (1) If Randy is a dull boy, then he will not get the job d  j (1) Conclusion: Randy will not get the job Argumen: r (1) r  d (1) maka d harus (1) d  j (1) d (1) maka j harus (1) pengambilan kesimpulan (konklusi) benar

14 bilqis14

15 bilqis15

16 bilqis16

17 bilqis17 Aturan penentuan kesimpulan untuk quantified statements 1.Universal instantiation 2.Universal generalization 3.Existential instantiation 4.Existential generalization

18 bilqis18

19 bilqis19 Contoh

20 bilqis20 1.Universal instantiation diketahui :  x P(x) untuk domain D buktikan : P(c) di mana c  D contoh :  x P(x) ; D = { mahasiswa di kelas ini } semua mahasiswa di kelas ini belajar MD c = Bayu  D P(c) : Bayu belajar MD

21 bilqis21 (ROI) for Quantifier 1. Universal instantion –Domain Misal : –X = wanita  sebagai domain –P(x) = x is wise –C  salah satu wanita –  Semua wanita adalah wise –  C adalah wise dengan syarat c E D –P(lisa)  lisa adalah wise dengan syarat lisa E D c

22 bilqis22 2.Universal generalization diketahui : P(c) di mana c  D = Domain = { …., –5, –3, –1 } buktikan :  x P(x) contoh: P(c) = c integer negatif  c 3 integer negatif D = Domain = { …., –3, –2, –1 } c = – n di mana n = 1, 2, 3, …. c 3 = (–n )*(–n )*(–n ) = –n 3  x P(x) : jika x integer negatif, maka x 3 integer negatif terbukti

23 bilqis23 2. Universal generalization Misal : –P(lisa)  lisa adalah wise –P(ili)  ili adalah wise

24 bilqis24 3.Existential instantiation diketahui :  x P(x) buktikan : P(c) contoh :  x P(x) = ada bilangan prima gasal P(c) = 5 bilangan prima gasal

25 bilqis25 3. Existential Instantiation  min ada 1 wanita yang wise  lisa adalah wanita yang wise

26 bilqis26 4.Existential generalization diketahui : P(c) buktikan :  x P(x) contoh : P(c) = 5 bilangan prima gasal  x P(x) = ada bilangan prima gasal

27 bilqis27 4. Existential Generalization

28 bilqis28 Membuktikan teorema berbentuk p  q 1. Bukti langsung (direct proof) 2. Bukti tidak langsung (indirect proof) 3. Bukti hampa (vacuous proof) 4. Bukti mudah (trivial proof)

29 bilqis29 Method of Profing Theorem 1. Direct Proof –Untuk p  q : Asumsi P adalah benar Buktikan bahwa q juga benar, misal dengan ROI –Ex :

30 bilqis30 Bukti langsung ( direct proof) Teorema: “Jika n integer gasal, maka n 2 integer gasal” Bukti: n = 2k + 1 integer gasal; k sembarang integer n 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2 (2k 2 + 2k) + 1 (n 2 integer gasal) n integer gasal  n 2 integer gasal (terbukti)

31 bilqis31 2. Indirect Proof –P  q equivalen dengan contrapositif ~q  ~p Asumsikan ~q adalah benar Maka buktikan ~p juga benar –Ex :

32 bilqis32 Bukti tidak langsung (indirect proof) Teorema: “jika 3n + 2 gasal, maka n gasal” Ekivalen dengan “jika n genap, maka 3n + 2 genap” Bukti: n = 2k; k sembarang integer 3n + 2 = 3(2k) + 2 = 6k + 2 = 2 (3k) + 2 = 2 (3k +1) jika n genap, maka 3n + 2 genap jika 3n + 2 gasal, maka n gasal (terbukti)

33 bilqis33 Voucous Proof : –Jika nilai var diket –Jika kita bisa membuktikan bahwa P salah, krn –Jika P salah maka tidak peduli Q benar atau salah, proposisi pasti benar

34 bilqis34 Bukti hampa (vacuous proof): Implikasi p  q mempunyai nilai kebenaran TRUE apabila p bernilai FALSE Contoh: “jika n > 1 maka n 2 > n, untuk n = 0” p : 0 > 1 (FALSE) q : 0 2 > 0 (FALSE) p  q TRUE maka “teorema” terbukti

35 bilqis35 4. Trivial Proof –Jika nilai var diket –Jika kita bisa membuktikan bahwa q benar, krn –Jika q benar, maka tidak peduli apakah P benar atau salah, proposisi pasti benar

36 bilqis36 Bukti mudah (trivial proof) Implikasi p  q mempunyai nilai kebenaran TRUE apabila q bernilai TRUE Contoh: “jika a b maka a n b n, untuk n = 0” p : a b q : a 0 b 0 (TRUE) maka “teorema” terbukti

37 bilqis37 Bukti per kasus (proof by cases) Teorema: |xy| = |x| |y| untuk semua bilangan nyata Bukti: xy|xy||x| |y| 1>= 0 xy 2>= 0< 0-(xy)x(-y) 3< 0 >= 0-(xy)(-x)y 4< 0 xy(-x)(-y)

38 bilqis38 Bukti teorema berbentuk ekivalensi “p q” 1.Buktikan p  q 2.Buktikan q  p Bukti teorema berbentuk “p, q, r, s ekivalen” 1.Buktikan p  q 2.Buktikan q  r 3.Buktikan r  s 4.Buktikan s  p

39 bilqis39 Cara-cara pembuktian lain: 1.Existence Proof a) Constructive b) Non Constructive 2. Proof by Counter Examples

40 bilqis40 Constructive Proof Teorema: “ada sebuah integer yang dapat dinyatakan sebagai jumlah dari pangkat-tiga dua integer positif, dalam dua cara berbeda” Bukti: dengan trial-and error didapatkan 1729 = dan 1729 =

41 bilqis41 Non Constructive Proof Teorema: “Ada dua bilangan irasional x dan y yang menghasilkan x y rasional” Bukti: ( x = 2 dan y = 2 ) maka 2 = 2 rasional sehingga teorema terbukti 2 2

42 bilqis42 Proof by Counter Examples Teorema: “tiap integer positif merupakan jumlah dari kuadrat tiga integer” adalah pernyataan yang salah Bukti: usahakan menemukan satu contoh yang meng-counter pernyataan di atas 0 2 = = = 43 2 = 9 0 = = = = = = ? 2 = = tidak dapat dibentuk dari jumlah kuadrat tiga integer ( 7 disebut counter example ) terbukti pernyataan di atas salah (false)

43 bilqis43 PR (kerjakan 5 saja) Bilqis : 1.5  1, 5, 7, 9, 13, 23


Download ppt "Bilqis1 Pertemuan 3 2010. bilqis2 Cara membuktikan Sub-bab 1.5."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google