Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Bilqis1 Pertemuan 4 Vektor 2 dan 3 Dimensi. bilqis2 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : – Mengetahui.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Bilqis1 Pertemuan 4 Vektor 2 dan 3 Dimensi. bilqis2 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : – Mengetahui."— Transcript presentasi:

1 bilqis1 Pertemuan 4 Vektor 2 dan 3 Dimensi

2 bilqis2 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : – Mengetahui definisi Vektor Dimensi 2 dan Vektor Dimensi 3 – Dapat menghitung perkalian dan jarak antara 2 vektor

3 bilqis3 Vektor di Ruang-2 Vektor di Ruang-3 Bab 3.1

4 bilqis4 3.1) Vektor -> Pengantar Vektor : Besaran skalar yang mempunyai arah ex : gaya, ke kanan bernilai (+), ke kiri bernilai (-) Secara geometris, Simbol vektor : v Skalar vektor : v + Vektor : 2 dimensi - * 3 dimensi + - * B A v vektor v = AB A disebut titik awal/inisial B disebut titik akhir/terminal Arah panah = arah vektor Panjang panah = besar vektor

5 bilqis5 A B v vektor v = AB A disebut titik awal/inisial B disebut titik akhir/terminal Vektor-vektor ekivalen Dianggap sama Panjang dan arahnya sama

6 bilqis6 Negasi sebuah vektor v  –v secara geometrik v –v Panjang sama, arah berlawanan Penjumlahan dua vektor: w = u + v secara geometrik Selisih dua vektor: w = u – v sama dengan w = u + (–v) u v w u v w v u w

7 bilqis7 Penjumlahan dua vektor: w = u + v u v w Cara analitik: Vektor-vektor u, v, w di Ruang-2 atau Ruang-3 Ruang-2: u = (u 1, u 2 ); v = (v 1, v 2 ); w = (w 1, w 2 ) w = (w 1, w 2 ) = (u 1, u 2 ) + (v 1, v 2 ) = (u 1 + v 1, u 2 + v 2 ) w 1 = u 1 + v 1 w 2 = u 2 + v 2

8 bilqis8 Perkalian vektor dengan skalar (bilangan nyata/real number) w = k v ; k = skalar v 3v –2v v secara geometrik:

9 bilqis9 Perkalian vektor dengan skalar (bilangan nyata/real number) w = k v ; k = skalar Cara analitik: Di Ruang-2: w = kv = (kv 1, kv 2 ) (w 1, w 2 ) = (kv 1, kv 2 ) w 1 = kv 1 w 2 = kv 2

10 bilqis10 Koordinat Cartesius: P 1 = (x 1, y 1 ) dan P 2 = (x 2, y 2 ) P 1 dapat dianggap sebagai titik dengan koordinat (x 1, y 1 ) atau sebagai vektor OP 1 di Ruang-2 dengan komponen pertama x 1 dan komponen kedua y 1 P 2 dapat dianggap sebagai titik dengan koordinat (x 2, y 2 ) atau sebagai vektor OP 2 di Ruang-2 dengan komponen pertama x 2 dan komponen kedua y 2 Vektor P 1 P 2 = OP 2 – OP 1 = (x 2 – x 1, y 2 – y 1 )

11 bilqis11 Using Coordinat ( v 1, v 2 ) v 1 & v 2 komponen2 v Mis: v = ( 1, -2 ) & w = ( 7, 6 ) ( + ) v + w = ( 1, -2 ) + ( 7, 6 ) = ( 1 + 7, ) = ( 8, 4 ) ( - ) v – w = ( 1, -2 ) - ( 7, 6 ) = ( 1 - 7, ) = ( -6, -8 ) ( * ) 4 v = 4 ( 1, -2 ) = ( 4, -8 ) y x v w v V + w 4v V - w

12 bilqis12 Vektor 3 dimensi v = ( v 1, v 2, v 3 ) Misal: v = ( 4, 5, 6 ) Mis : v = ( 1, -3, 2 ) w = ( 4, 2, 1 ) ( + ) v + w = ( 5, -1, 3 ) ( - ) v – w = ( -3, -5, 1 ) ( * ) 2 v = ( 2, -3, 4 ) v = P 1 P 2 = P 2 - P 1 = ( x 2 – x 1, y 2 – y 1, z 2 – z 1 ) x y z v P1P1 P2P2 v

13 bilqis13 Ex 2 hal 124 Example 2: the component of the vector v = P 1 P 2 with the initial point P 1 ( 2, -1, 4 ) And terminal point P 2 ( 7, 5, -8 ) are v = ( 7 – 2, 5 – ( -1 ), ( -8 ) – 4 ) = ( 5, 6, -12 ) in 2-space, the vector with initial point P 1 ( x 1, y 1 ) and terminal point P 2 ( x 2, y 2 ) is P 1 P 2 = (x 2 - x 1, y 2 - y 1 )

14 bilqis14 Translasi (0, 0) (k, l) sumbu-x sumbu-ysumbu-y’ sumbu-x’ (x, y) (x’, y’) P x’ = x – ky’ = y – k y l x x’ k y’ (0, 0)

15 bilqis15 Translasi pers.Translasi : x’ = x - k y’ = y – l x = x’ + k y = y’ + p Ex: ( k, l ) = ( 4, 1 ), koordinat ( x, y ) titik P ( 2, 0 ). Berapakah koordinat ( x’, y’ )? Jwb : x’ = x – k y’ = y – l = 2 – 4 = = -2 = -1 (0, 0) (k, l) (x, y) (x’, y’) sumbu-y sumbu-x l k x sumbu-x’ P sumbu-y’ (0, 0) x’ y’

16 bilqis16 Ex 3 hal 125 Suppose that an xy-coordinate system translated to obtain an x’y’- coordinate system whose origin has xy-coordinates ( k, l ) = ( 4, 1) (a)Find the x’y’-coordinates of the point with the xy-coordinate P ( 2, 0 ) (b)Find the xy-coordinates of the point with the x’y’-coordinate Q ( -1, 5 ) Solutions (a): the translations equations are x’ = x – 4y’ = y – 1 So the x’y’-coordinates of P ( 2, 0 ) are x’ = 2 – 4 = - 2 and y’ = 0 – 1 = - 1 Solutions (b): the translations equations in (a) can be rewritten as x = x’ + 4y = y’ + 1 So the xy-coordinates of Q are x = = 3 and y = = 6

17 bilqis17 Contoh soal Carilah vektor yang mempunyai titik awal P ( 2, 3 ) yang mempunyai arah yang sama dengan v = ( 4, 5 ) dari titik P jwb : v = ( 4, 5 ) dari titik P so, x’ = 4 y’ = 5 Maka P( 2, 3 ) dianggap sebagai titik pusat baru. k = 2 dan l = 3. yang kita cari adalah keberadaan vektor v terhadap sumbu koordinat mula-mula ( 0, 0 ) x = k + x’y = l + y’ = = = 6 = 8 Jadi vektor lain yang mempunyai arah yang sama dengan v adalah Q ( 6, 8 ) P ( 2, 3 ) x yy’ x’ v

18 bilqis18 Aritmatika vektor Norma sebuah vektor Bab 3.2

19 bilqis19 Aritmatika vektor di Ruang-2 dan Ruang-3 Teorema : u, v, w vektor-vektor di Ruang-2/Ruang-3 k, l adalah skalar (bilangan real) u+v = v+u (u+v)+w = u+(v+w) u+0 = 0+u = u u+(-u) = (-u)+u = 0 k(lu) = (kl)u k(u+v) = ku + kv (k+l)u = ku + lu 1u = u

20 bilqis20 Bukti teorema : 1.Secara geometrik (digambarkan) 2.Secara analitik (dijabarkan) Bukti secara analitik untuk teorema di Ruang-3 u = (u 1, u 2, u 3 ); v = (v 1, v 2, v 3 ); w = (w 1, w 2, w 3 ) u + v = (u 1, u 2, u 3 ) + (v 1, v 2, v 3 ) u + 0 = (u 1, u 2, u 3 ) + (0, 0, 0) = (u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3 ) = (u 1 + 0, u 2 + 0, u 3 + 0) = (v 1 + u 1, v 2 + u 2, v 3 + u 3 ) = (0 + u 1, 0 + u 2, 0 + u 3 ) = v + u = 0 + u = (u 1, u 2, u 3 ) = u

21 bilqis21 k(lu) = k (lu 1, lu 2, lu 3 ) k(u + v) = k((u 1, u 2, u 3 ) + (v 1, v 2, v 3 )) = (klu 1, klu 2, klu 3 ) = k(u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3 ) = kl(u 1, u 2, u 3 ) = (ku 1 + kv 1, ku 2 + kv 2, ku 3 + kv 3 ) = klu = (ku 1, ku 2, ku 3 ) + (kv 1, kv 2, kv 3 ) = ku + kv (k + l) u = ((k+l) u 1, (k+l) u 2, (k+l) u 3 ) = (ku 1, ku 2, ku 3 ) + (lu 1, lu 2, lu 3 ) = k(u 1, u 2, u 3 ) + l(u 1, u 2, u 3 ) = ku + lu

22 bilqis22 Norma sebuah vektor: (Untuk sementara norma bisa dianggap sebagai panjang vektor) Ruang-2 : norma vektor u = ||u|| =  u u 2 2 Ruang-3 : norma vektor u = ||u|| =  u u u 3 2 Vektor Satuan (unit Vector) : suatu vektor dengan norma 1

23 bilqis23 Jarak antara dua titik: Ruang-2: vektor P 1 P 2 = (x 2 – x 1, y 2 – y 1 ) jarak antara P 1 (x 1, y 1 ) dan P 2 (x 2, y 2 ) d =  (x 2 – x 1 ) 2 + (y 2 – y 1 ) 2 Ruang-3: vektor P 1 P 2 = (x 2 – x 1, y 2 – y 1, z 2 – z 1 ) jarak antara P 1 (x 1, y 1, z 1 ) dan P 2 (x 2, y 2, z 2 ) d =  (x 2 – x 1 ) 2 + (y 2 – y 1 ) 2 + (z 2 – z 1 ) 2

24 bilqis24 Jika u adalah vektor dan k adalah skalar, maka norma ku = | k | || u ||

25 bilqis25 Vektor bisa dinyatakan secara grafik analitik (diuraikan mjd komponennya) Norma v = panjang vektor v = || v || = v 1 + v 2 v = P 2 P 1 = ( x 2 – x 1, y 2 – y 1, z 2 – z 1 ) d = || v || = ( x 2 – x 1 ) 2 + ( y 2 – y 1 ) 2 + ( z 2 – z 1 ) 2 Ex: Norma v = ( -3, 2, 1 ) adalah || v || = ( -3) 2 + ( 2 ) 2 + ( 1 ) 2 = 14 Jarak ( d ) antara titik P 1 ( 2, -1, -5 ) dan P 2 ( 4, -3, 1 ) adalah d = ( 4 – 2 ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 = 44 = 2 11

26 bilqis26 Contoh (1): Cari norma dari v = (0, 6, 0) Penyelesaian : Contoh (2): Anggap v = (–1, 2, 5). Carilah semua skalar k sehingga norma kv = 4 Penyelesaian : ||kv|| = | k |  [(–1) ] = | k |  30 = 4  | k | = 4 /  30  k =  4 /  30

27 bilqis27 Contoh (3): Carilah jarak antara a)P1 = (3, 4) dan P2 = (5, 7) b)P1 = (3, 3, 3) dan P2 = (6, 0, 3) Penyelesaian : a)d =  (5 – 3) 2 + (7 – 4) 2 =  =  13 b)d =  (6 – 3) 2 + (0 – 3) 2 + (3 – 3) 2 =  =  18

28 bilqis28 PR 3.1  3.f, 4, 6.f, 7, 8, 10,  2.b, 3.f, 4, 5, 6, 7


Download ppt "Bilqis1 Pertemuan 4 Vektor 2 dan 3 Dimensi. bilqis2 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : – Mengetahui."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google