Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Bilqis1 PERTEMUAN 1. bilqis2 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : –Mengetahui definisi Sistem Persamaan.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Bilqis1 PERTEMUAN 1. bilqis2 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : –Mengetahui definisi Sistem Persamaan."— Transcript presentasi:

1 bilqis1 PERTEMUAN 1

2 bilqis2 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : –Mengetahui definisi Sistem Persamaan Linier –Dapat membentuk matriks yang merepresentasikan Sistem Persamaan Linier –Dapat menyelesaikan Sistem Persamaan Linier dengan menggunakan metode Gauss dan Gauss Jordan

3 bilqis3 Contoh Soal  berapa nilai x, y dan Z x + y + 2z = 9 2x + 4y – 3z = 1 3x + 6y – 5z = 0

4 bilqis4 Sistem Persamaan Linier

5 bilqis5 Persamaan linier : Persamaan yang semua variabelnya berpangkat 1 atau 0 dan tidak terjadi perkalian antar variabelnya. Contoh:(1)x + y + 2z = 9PL (2)2x + y = 9PL (3)2xy – z = 9Bukan PL Solusi PL (1) : berupa suatu “tripel” dengan masing-masing nilai sesuai urutan (nilai-x, nilai-y, nilai-z) yang memenuhi persamaan tersebut. Himpunan solusi untuk persamaan (1) di atas: { … ( 0, 1, 4), (1, 0, 4), (4, 5, 0), …. } Himpunan solusi juga disebut Ruang Solusi (solution space)

6 bilqis6 Misal : atau atau terserah variable mana yang akan diumpamakan, rumus berbeda, tapi hasil akhir untuk x, y, dan z tetap sama

7 bilqis7 Sistem Persamaan Linier: Suatu sistem dengan beberapa (2 atau lebih) persamaan linier. Contoh: x + y = 3 3x – 5y = 1 Ruang Solusi: berupa semua ordered-pair (nilai-x, nilai-y) yang harus memenuhi semua persamaan linier dalam sistem tersebut; untuk sistem ini ruang solusinya { (2, 1) }

8 bilqis8 PENYIMPANGAN PADA PENYELESAIAN SUATU SPL Pada beberapa SPL tertentu terdapat penyimpangan – penyimpangan dalam penyelesaiannya, misal : Diberikan SPL sebagai berikut : x 1 + 1/2x 2 + 1/3x 3 = 1 1/2x 1 + 1/3x 2 + 1/4x 3 = 0 1/3x 1 + 1/4x 2 + 1/5x 3 = 0 Didapat penyelesaian x 1 = 9, x 2 = -36, dan x 3 = 30 Jika SPL tersebut dituliskan dalam bentuk dua desimal : x 1 + 0,5x 2 + 0,33x 3 = 1 0,5x 1 + 0,33x 2 + 0,25x 3 = 0 0,33x 1 + 0,25x 2 + 0,2x 3 = 0 Didapat penyelesaian x 1 ≈ 55,55; x 2 ≈ -277,778; dan x 3 ≈ 255,556

9 bilqis9 Interpretasi Geometrik: Sistem menggambarkan 2 garis lurus pada sebuah bidang datar. g 1 : x + y = 3 g 2 : 3x – 5y = 1 Solusi: g 1 dan g 2 berpotongan di (2, 1) Kemungkinan: berpotongan di 1 titik tidak berpotongan berimpit X+y = 5 X+y = 7 Var => sama Konst => tidak X+y = 5 2X+2y = 10 Kelipatan

10 bilqis10 Solusi Sistem Persamaan Linier a.Cara Biasa → Seperti SMA b.Eliminasi Gauss c.Eliminasi Gauss - Jordan a. Cara Biasa (untuk mengingat kembali): I. x + y = 3  3x + 3y = 9 3x – 5y = 1  3x – 5y = 1 8y = 8  y = 1 3x – 5 = 1  3x = 6  x = 2 II. y = 3 – x 3x – 5(3 – x) = 1 atau 3x – x = 1  8x = 16  x = 2 y = 3 – x  y = 1

11 bilqis11 b. Eliminasi Gauss (ringkasan): Sistem Persamaan → Matriks → Eliminasi → Substitusi Linier Augmented Gauss Balik OBE

12 bilqis12 Penyelesaian Sistem Persamaan Linier b.Eliminasi Gauss (lihat contoh 3, halaman 5) x + y + 2z = x + 4y – 3z = x + 6y – 5z = lalu diusahakan berbentuk ? ? ? dengan proses Operasi Baris Elementer (OBE) (Elementary Row Operation - ERO) ditulis dalam bentuk matriks augmented

13 bilqis13 Matriks Augmented : (Matriks yang diperbesar) Matriks yang entri-entrinya dibentuk dari koefisien-koefisien Sistem Persamaan Linier Contoh : x + y + 2z = 9 2x + 4y – 3z = 1 3x + 6y – 5z = 0 Matriks Augmented-nya :

14 bilqis14 O.B.E  sebuah baris dengan kostanta 0  sebuah baris dengan konstanta 0 kemudian pada baris lain  Menukar dua buah baris Ciri-ciri eliminasi Gauss (Eselon Baris) Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama) Baris nol terletak paling bawah 1 utama baris berikutnya berada di kanan 1 utama baris di atasnya. Dibawah 1 utama harus 0

15 bilqis15 Contoh : Ciri-ciri eliminasi Gauss Jordan (Eselon Baris Tereduksi) Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama) Baris nol terletak paling bawah 1 utama baris berikutnya berada di kanan 1utama baris diatasnya.. Tiap kolom yang mengandung 1 utama mempunyai nol di tempat lain Contoh :

16 bilqis16 Eliminasi Gauss menggunakan O.B.E : * + = Substitusi Balik [baris 1 -2] + baris 2 [baris 1 -3] + baris 3 baris 2 * 1/2 [baris 2 -3] + baris 3 baris 3 -2 z = 3

17 bilqis17 x y z Substitusi Balik: ½ - 3 / / 2 z = - 3 / 2 z = y – 7z = ½ - 3 / 2 2y = 21 – 17 y = x + y + 2z = x = – 2 – x = ½ - 3 / 2 z y z

18 bilqis18 Bentuk eselon baris: 1.Entri-entri dalam sebuah baris tidak semuanya nol, maka entri pertama yang tidak nol harus 1 (disebut 1-utama / leading-1) 2.Baris-baris yang semua entrinya 0, dikelompokkan di bagian bawah matriks 3.Posisi 1-utama dari baris yang lebih bawah harus lebih ke kanan d/p 1-utama baris yang lebih atas Bentuk eselon baris tereduksi: 1, 2, 3, ditambah 4. Semua entri (yang lain) dari kolom yang berisi 1-utama harus di-0-kan

19 bilqis19 Operasi Baris Elementer (OBE) (Elementary Row Operation - ERO) Perhatikan bahwa tiap baris dari matriks merepresentasikan persamaan linier 1.Mengalikan suatu baris dengan bilangan nyata k  0 2.Menukar posisi dua baris 3.Menambah baris-i dengan k kali baris-j

20 bilqis20 c. Eliminasi Gauss-Jordan (ringkasan): Sistem Persamaan → Matriks → Eliminasi → Solusi Linier Augmented Gauss-Jordan (langsung) OBE

21 bilqis21 Eliminasi Gauss-Jordan (contoh yang sama) x + y + 2z = x + 4y – 3z = x + 6y – 5z = dan diusahakan berbentuk ? ? ? dengan proses Operasi Baris Elementer (OBE) (Elementary Row Operation - ERO)

22 bilqis22 Gauss-Jordan  MatLab

23 bilqis23 Eliminasi Gauss-Jordan menggunakan O.B.E  idem Gauss  disambung dengan : * + = baris 3 + baris 2 baris baris 1 baris baris 3

24 bilqis24 Suatu SPL mempunyai 3 kemungkinan jawaban, yaitu : 1.Mempunyai jawaban tunggal 2.Mempunyai banyak jawaban 3.Tidak mempunyai jawaban Contoh : Tentukan nilai a agar SPL berikut: i.Mempunyai jawaban tunggal ii.Mempunyai banyak jawaban iii.Tidak mempunyai jawaban x – 2y + 3z = 1 2x – 3y + 9z = 4 x – 3y + (a 2 - 4)z = 1 + a

25 bilqis25 Penyelesaian : Matriks Eselon SPL di atas adalah : i.Mempunyai jawaban tunggal a 2 – 4 ≠ 0  a ≠ -2 dan a ≠ 2 ii.Mempunyai banyak jawaban a 2 – 4 = 0 dan a +2 = 0  a = -2 iii.Tidak mempunyai jawaban a 2 – 4 = 0 dan a + 2 ≠ 0  a = 2

26 bilqis26 Lihat contoh di halaman 5 dan 6 Lihat contoh di halaman 11 dan 12

27 bilqis27 Halaman 5 Example 3. In the left column below we solve a system of equations by operating on the equations in the system, and in the right column we solve the same system by operating on the rows of the augmented matrix. x + y + 2z = 9 2x + 4y – 3z = 1 3x + 6y -5z = 0 Add -2 times the first equation to the second to obtain Add -2 times the first row to the second to obtain x + y + 2z = 9 2y – 7z = -17 3x + 6y -5z = 0 Add -3 times the first row to the third to obtain Add -3 times the first equation to the third to obtain x + y + 2z = 9 2y – 7z = -17 3y -11z = -27

28 bilqis28 Multiply the second equation by ½ to obtain Multiply the second row by ½ to obtain Add -3 times the second equation to the third to obtain Add -3 times the second row to the third to obtain Multiply the third equation by -2 to obtain Multiply the third row by -2 to obtain

29 bilqis29 Add -1 times the second equation to the first to obtain Add -1 times the second row to the first to obtain Add -11/2 times the third equation to the first and 7/2 times the third equation to the second to obtain Add -11/2 times the third row to the first and 7/2 times the third row to the second to obtain The solution : x = 1, y = 2, z = 3

30 bilqis30 Halaman 11 Step 1. Locate the leftmost column that does not consist entirely of zeros. Step 2. Interchange the top row with another row, if necessary, to bring a nonzero entry to the top of the column found in Step 1. Leftmost nonzero column The first and second rows in the preceding matrix were interchanged

31 bilqis31 Step 3if the entry that is now at the top of the coloumn found in step 1 is a, multiply the first row by 1/a in order to introduce a leading 1 step 4add suitable multiples of the top row to the rows below so that all entries below the leading 1 to zeros step 5Now cover the top row in the matrix and begin again with step 1 applied to the submatrix that remains. Continue in this way until the entire matrix is in row-echelon form The first row of the preceding matrix was multiplied by ½ -2 times the first row of the preceding matrix was added to the third row left most nonzero coloumn in the submatrix

32 bilqis32 The first row in the submatrix was multiplied by -1/2 to introduce a leading 1 -5 times the first row of the submatirx was added to the second row of the submatrix to introduce a zero below the leading 1 The top row in the submatrix was covered, and we returned again to the step 1 The first(and only) row in the submatrix was multiplied by 2 to introduce a leading 1 The entire matrix is now in row-echelonform. To find the reduce row-echelon form we need the following additional step leftmost non zero coloumn in the new submatrix

33 bilqis33 Step 6Begining with the last nonzero row and working upward, add suitable multiplies of each row to the rows above to introduce zeros above the leading 1’s 7/2 times the third row of the preceding matrix was added to the second row -6 times the third row was added to the first row 5 times the second row was added to the first row The last matrix is in reduced row echelon form

34 bilqis34 Sistem Persamaan Linier Homogen : 1.Sistem Persamaan Linier dikatakan homogen jika semua suku di kanan tanda “=“ adalah 0. 2.Solusi Sistem Persamaan Linier Homogen: Solusi Trivial ( semua x i = 0; i = 1.. n ): pasti ada Solusi Non-trivial ( solusi trivial, plus solusi di mana ada x i ≠ 0 ) Contoh: lihat contoh 6 halaman 18 dan verifikasi proses penyelesaiannya

35 bilqis35 Contoh: lihat contoh 6 halaman 18 dan verifikasi proses penyelesaiannya /201/ /201/ /2-33/ /20-3/ Brs-1  (1/2) Brs-2 + brs-1 Brs-3 – brs-1

36 bilqis /201/20 003/2-33/ /20-3/ /201/ /201/ Brs-2  (2/3) Brs-3  (– 2/3) Brs-3 – brs-2 Brs-4 – brs-2

37 bilqis /201/ /201/ /201/ Brs-3  (1/2) Brs-4  (1/3) Brs-4 – brs-3

38 bilqis /201/ /201/ baris-1 + (1/2)  baris-2

39 bilqis x 1 + x 2 + x 5 = 0 x 3 + x 5 = 0 x 4 = 0 x 5 = s  x 3 + x 5 = 0  x 3 = – x 5 x 2 = t  x 1 + x 2 + x 5 = 0  x 1 = – x 2 – x 5 Ruang solusinya = { (-t-s, t, -s, 0, s ) } Catt => yang diumpamakan dahulu adalah  index terbesar

40 bilqis40 Teorema: Sistem Persamaan Linier Homogen dengan variabel lebih banyak d/p. persamaan mempunyai tak berhingga banyak pemecahan. Ditinjau dari matriksnya: Sistem Persamaan Linier Homogen dengan kolom lebih banyak d/p. baris mempunyai tak berhingga banyak pemecahan.

41 bilqis41 Contoh menggunakan  Matlab Soal x + y + 2z = 9 2x + 4y – 3z = 1 3x + 6y – 5z = 0 Buat matrix pada Matlab

42 bilqis42 Matlab Mengenol-kan baris ke-2, kolom 1  Baris 2 = Baris 1 * -2 + baris 2

43 bilqis43 Matlab Mengenol-kan baris ke-3, kolom 1  Baris 3 = Baris 1 * -3 + baris 3

44 bilqis44 Matlab Membuat nilai 1 pada kolom 2 dan baris 2  Baris 2 = Baris 2 * 1/2

45 bilqis45 PR Contoh pada slide 3, coba tukar antara baris pertama dengan baris 3, apakah hasilnya tetap sama ? Jawab dengan menggunakan Gauss-Jordan (dgn tangan) x + y + 2z = 9 2x + 4y – 3z = 1 3x + 6y – 5z = 0 2x + 4y – 3z = 1 x + y + 2z = 9

46 bilqis46 PR Contoh pada slide 8, coba kerjakan 2 SPL yang seharusnya jawabannya sama, tapi kenapa berbeda? Jawab dengan menggunakan Gauss-Jordan (dengan tangan) x1 + 1/2x2 + 1/3x3 = 1 1/2x1 + 1/3x2 + 1/4x3 = 0 1/3x1 + 1/4x2 + 1/5x3 = 0 x1 + 0,5x2 + 0,33x3 = 1 0,5x1 + 0,33x2 + 0,25x3 = 0 0,33x1 + 0,25x2 + 0,2x3 = 0

47 bilqis47 PR  kerjakan 2 saja 1.1  3.b, 4.c, 5.d,  6.b, 7.c, 8.a, 13.b, 14.c, 15.b, 17, 22


Download ppt "Bilqis1 PERTEMUAN 1. bilqis2 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : –Mengetahui definisi Sistem Persamaan."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google